等比數列

等比數列,是數列的一種。在等比數列中,任何相鄰兩項的比例相等,該比值稱為公比。因為數列中的任意一項都等於相鄰兩項的幾何平均數,所以又名幾何數列(英語:Geometric progression)。

例如數列:

就是一個等比數列。在這個數列中,從第二項起,每項與其前一項之公比都等於

性質

如果一個等比數列的首項記作 ,公比記作 ,那麼該等比數列第  的一般項為:

 

換句話說,任意一個等比數列 都可以寫成

 


在一個等比數列中,給定任意兩相連項  (其中 ),可知公比

 

給定任意兩項  ,則有公比

 

這裡注意,若 偶數,則公比可取此結果的正值或負值。


此外,在一個等比數列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之積,為原來該項的平方。舉例來說, 

更一般地說,有:

 

證明如下:

 

證畢。


從另一個角度看,等比數列中的任意一項,是其相鄰兩項的幾何平均

 

此結果從上面直接可得。


如果有整數 ,使得  ,那麼則有:

 

證明如下:

 


由此可將上面的性質一般化成:

 
 

其中 是一個小於 的正整數。


給定一個等比數列  ,則有:

  •   是一個等比數列。
  •   是一個等比數列。
  •   是一個等差數列


從等比數列的一般項可知,任意一個可以寫成

 

形式的數列,都是一個等比數列,其中公比 ,首項 

公比

公比(英語:Common ratio)是對於等比數列這一特殊數列而言的,它是指在等比數列中後一與前一項的

等比數列的通項公式

等比數列都滿足: 。例如,數列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0(因為N÷0),否則為未定義

等比數列和

一個等比數列的首 項之和,稱為等比數列和(sum of geometric sequence)或幾何級數(geometric series),記作 

舉例來說,等比數列 的和是 

等比數列求和的公式如下:

 

其中 為首項, 為項數, 為公比,且 

公式證明如下:

將等比數列和寫作以下形式:

  ……(1)

將兩邊同乘以公比 r,有:

  ……(2)

(1)式減去(2)式,有:

 

 時,整理後得證。

 時,可以發現:

 

綜上所述,等比數列的求和公式為:

 

 時,注意到

 

因此,我們可得無限項之和(sum to infinity)的公式為

 

由此可見,當 時,幾何級數會收斂到一個固定值。

等比數列積

一個等比數列的首 n 項之積,稱為等比數列積(product of geometric sequence),記作 Pn

舉例來說,等比數列 的積是 


等比數列求積的公式如下:

 

證明如下:

 

第二步,公比r的指數中,0來自於數列的第一項。最後一步,使用了等差數列的求和公式,通項為 

參見

參考文獻