符號函數

符號函數
性質
奇偶性	奇函數
定義域	(-∞,∞)
到達域	$\operatorname {sgn} x\in \{-1,0,1\}$
周期	N/A
特定值
當x=0	0
當x=+∞	1
當x=-∞	-1
最大值	1
最小值	-1
其他性質
漸近線	N/A
根	0
臨界點	N/A
拐點	N/A
不動點	0,1,-1

符號函數（Sign function，簡稱sgn）是一個邏輯函數，用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數（sine）混淆，它亦稱為Signum function。其定義為：

符號函數的微分

符號函數（藍色）、符號函數的微分（橘色），其中，符號函數的微分正好是2倍的狄拉克δ函數

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.$

性質

用艾佛森括號定義：

$\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]$

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

$x=(\operatorname {sgn} x)|x|$

若x不為零，可以由上式得出符號函數的另一個定義：

$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}$

符號函數是絕對值函數的導數：

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x$

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍：

${d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)$

它和單位步階函數的關係：

$\operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1$

推廣到複數

符號函數可以推廣到複數：對於任意$z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}$，

$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$

對於任何z ∈ $\mathbb {C}$，除了z = 0以外。複數z的符號函數，是複平面上中心為原點的單位圓上距離z最近的點。那麼，對於z ≠ 0，有：

$\operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,$

其中arg表示輻角。
出於對稱的原因，並且為了實現對實數的符號函數的適當推廣，對於z = 0，也常常在複數域中定義：

$\operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.$

符號函數在複數範圍的另外一個推廣是csgn函數，定義為：

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}$

即是在一四象限及 xy 軸正半軸為1，二三象限及 xy 軸負半軸為-1，原點為0。
對於 csgn，我們有（除了z = 0以外）：

$\operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$