秩—零化度定理

秩—零化度定理是線性代數中的一個定理，給出了一個線性變換或一個矩陣的秩和它的零化度之間的關係。對一個元素在體 $\mathrm {F}$ 中的 $m\cdot n$ 矩陣 $\mathrm {A}$ ，秩－零化度定理說明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等於 $n$ ：

\operatorname {rank} \mathrm {A} +\operatorname {nullity} \mathrm {A} =n.

同樣的，對於一個從 $F-$ 線性空間 $\mathrm {V}$ 射到 $\mathrm {F} -$ 線性空間 $\mathrm {W}$ 的線性變換 $\mathrm {T} \;:\;\;\mathrm {V} \rightarrow \mathrm {W}$ ， $\mathrm {T}$ 的秩是它的象的維度， $\mathrm {T}$ 的零化度是它的核（零空間）的維度。我們有：

\operatorname {dim} (\operatorname {Im} \mathrm {T} )+\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} \mathrm {T} )=\operatorname {dim} \mathrm {V}

也就是：

\operatorname {rank} \mathrm {T} +\operatorname {nullity} \mathrm {T} =\operatorname {dim} \mathrm {V} .

實際上定理在更廣的範圍內也成立，因為 $\mathrm {V}$ 和 $\mathrm {F}$ 可以是無限維的。

證明

證明的方法基於線性空間的基和同構。

設 $\mathrm {V}$ 是一個有限維線性空間，其維度 $\operatorname {dim} \mathrm {V} =n$ 。對一個從 $\mathrm {V}$ 射到 $\mathrm {F}$ 的線性變換 $\mathrm {T}$ ，它的核 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 是 $\mathrm {V}$ 的一個子空間。設 ${\mathfrak {B}}_{k}=\left(e_{1},e_{2}\cdots ,e_{p}\right)$ 是 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 的一組基（ $p\leqslant n$ ）。根據基擴充定理， ${\mathfrak {B}}_{k}$ 可以被擴充為 $\mathrm {V}$ 的一組基： ${\mathfrak {B}}=\left(e_{1},e_{2}\cdots ,e_{n}\right)$ 。除了 ${\mathfrak {B}}_{k}$ 的 $p$ 個向量以外，另外的 $n-p$ 個向量 $\left(e_{p+1},\cdots ,e_{n}\right)$ 是一組線性無關的向量。設 $\mathrm {H}$ 是它們張成的子空間，那麼 $\mathrm {V}$ 是子空間 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 與 $\mathrm {H}$ 的直和：

\mathrm {V} =\operatorname {Ker} \mathrm {T} \oplus \mathrm {H}

所以，按照直和的性質，有 $\operatorname {dim} (\mathrm {H} )+\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} \mathrm {T} )=\operatorname {dim} \mathrm {V}$ ，並且這兩個子空間的交集為 $\operatorname {Ker} \mathrm {T} \cap \mathrm {H} =\left\{0\right\}$ 。同時， $\forall u\in \mathrm {V} ,$ 都可以寫成 $\ u=a+b$ 的形式，其中 $a\in ker(\mathrm {T} ),\;b\in \mathrm {H}$ 。考慮 $\mathrm {T}$ 限制在 $\mathrm {H}$ 上到 $\operatorname {Im} \mathrm {T}$ 的線性變換 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ ：

{\begin{aligned}\mathrm {T} _{\mathrm {H} }:\mathrm {H} &\rightarrow \operatorname {Im} \mathrm {T} \\u&\mapsto \mathrm {T} (u)\end{aligned}}

下證 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一個同構。首先由於 $\mathrm {T}$ 是線性映射，所以 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是線性映射。只需證明它也是雙射：

$\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一個單射，因為 $\forall u,v\in \mathrm {H}$ ， $\mathrm {T} (u)=\mathrm {T} (v)\Rightarrow \mathrm {T} (u-v)=0\Rightarrow u-v\in \mathrm {H} \cap \operatorname {Ker} \mathrm {T} \Rightarrow u-v=0\Rightarrow u=v$ 。
$\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一個滿射，因為 $\forall v\in \operatorname {Im} \mathrm {T}$ ， $\exists u\in \mathrm {V} ,$ 使得 $\ v=\mathrm {T} (u)$ ，而且 $u=a+b$ ，其中 $a\in \operatorname {Ker} \mathrm {T} ,\ b\in \mathrm {H}$ 。於是 $v=\mathrm {T} (u)=\mathrm {T} (a+b)=\mathrm {T} (a)+\mathrm {T} (b)\ =\mathrm {T} (b)$ ，其中 $b\in \mathrm {H}$ ，所以 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一個滿射。