相親數(Amicable numbers),又稱親和數友愛數友好數,指兩個正整數中,彼此的全部正約數之和(本身除外)與另一方相等。畢達哥拉斯曾說:「朋友是你靈魂的倩影,要像220284一樣親密。」

每一對親和數都是過剩數虧數,較小的是過剩數,較大的是虧數

例如220與284:

  • 220的全部正因數(除掉本身)相加是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • 284的全部正因數(除掉本身)相加的和是:1+2+4+71+142=220

親和數中可輕易推出,一方的全部正因數之和與另一方的全部正因數之和相等。(此敘述不可逆,不能用來判斷是否為親和數)

  • 220的全部正因數之和是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
  • 284的全部正因數之和是:1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十個相親數是:(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285,14595), (17296,18416),(63020,76084)和(66928,66992)……(OEIS數列A259180)。 (另見OEISA002025OEISA002046

歷史

  • 320年左右,古希臘畢達哥拉斯發現的220與284,是人類認識的第一對相親數.
  • 約850年,阿拉伯數學家塔別脫·本·科拉就發現了相親數公式,後來稱為塔別脫·本·科拉法則。
  • 1636年,費馬發現了另一對相親數:17296和18416。
  • 1638年,笛卡兒也發現了一對相親數:9363584和9437056。
  • 歐拉也研究過相親數這個課題。1750年,他一口氣向公眾拋出了60對相親數:2620和2924,5020和5564,6232和6368,……,從而引起了轟動。
  • 1866年,年方16歲的意大利青年巴格尼尼(並非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼)發現1184與1210是僅僅比220與284稍為大一些的第二對相親數。
  • 目前,人們已找到了12,000,000多對相親數。但相親數是否有無窮多對,相親數的兩個數是否都是或同是奇數,或同是偶數,而沒有一奇一偶等,這些問題還有待繼續探索。

尋找方法

歐拉法則

對於正整數     。若 均為質數,則  是相親數。這個法則能找出符合親和數的數對 ,但 時沒有其他符合的數對。

塔別脫·本·科拉法則

這是歐拉法則 的特殊情況:第 塔別脫·本·科拉數 。若   均為質數,則  是相親數。

其他

  • 在目前所有已知的情況下,相親數皆同為偶數或同為奇數。目前不知道一奇一偶的相親數是否存在,但若存在,則偶數必須為完全平方數或其兩倍,且奇數也必須是完全平方數
  • 目前已知存在7對具有不同的最小質因數的相親數。[1]
  • 在目前所有已知的情況下,相親數皆具有質公因數。目前不知道是否存在互質的相親數。若存在,兩者乘積必大於1067.[來源請求]
  • 1955年,艾狄胥·帕爾(PaulErdős)說明相親數相對於正整數的密度為0。[2]

參看

延伸閱讀

  1. ^ Amicable pairs news. [2022-11-21]. (原始內容存檔於2021-07-18). 
  2. ^ Erdős, Paul. On amicable numbers (PDF). Publicationes Mathematicae Debrecen. 1955, 4: 108–111. (原始內容存檔 (PDF)於2022-10-09).