正交多項式

函數 $W(x)$ 若在區間(a,b)可積，且 $W(x)\geq 0$ ，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列 ${f_{i}}$ 和權函數 $W(x)$ ，定義內積 $:\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx$

若 $n\neq m$ ， $\langle f_{m},f_{n}\rangle =0$ ，這些多項式則稱為正交多項式（英語：Orthogonal Polynomials）。

若 ${f_{i}}$ 除了正交之外，更有 $\langle f_{n},f_{n}\rangle =1$ 的話，則稱為規範正交多項式。

例子

若權函數為1，區間為(-1,1)， $f_{0}(x)=1$ ，對應的正交多項式有：

f_{1}(x)=x\,

f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,

f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,

f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,

\vdots

它們稱為勒讓德多項式。

對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

常見的正交多項式

性質

遞歸方程

$f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}$

其中 $b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle$

實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有 $n$ 個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
奇偶性：若 $W(x)$ 為偶函數，且正交區間為 $(-a,a)$ ，則有 $f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)$ 。

外部連結

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Springer Online Reference Works)