模糊數學

模糊數學,亦稱弗晰數學模糊性數學。1965年以後,在模糊集合模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別人工智能等方面有廣泛的應用。

模糊集

定義和表示

給定一個論域 U ,那麼從 U 到單位區間 [0,1] 的一個映射   稱為 U 上的一個模糊集U 的一個模糊子集 [a], 記為 A 。 映射(函數) μA(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集 A隸屬函數。 對於每個 xUμA(x) 叫做元素 x 對模糊集 A隸屬度

模糊集的常用表示法有下述幾種:

  1. 解析法,也即給出隸屬函數的具體表達式。
  2. Zadeh 記法,例如 。分母是論域中的元素,分子是該元素對應的隸屬度。有時候,若隸屬度為0,該項可以忽略不寫。
  3. 序偶法,例如 ,序偶對的前者是論域中的元素,後者是該元素對應的隸屬度。
  4. 向量法,在有限論域的場合,給論域中元素規定一個表達的順序,那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式,如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相關概念

  • 模糊集 A承集支集記為  
  • 模糊集 A記為  
  • 模糊集 A高度記為  
  • 模糊集 A深度記為  

模糊度

一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一個直觀的定義是這樣的:

設映射 D : F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質:

  1. 清晰性:D(A) = 0 當且僅當 AP(U)。(經典集的模糊度恆為0。)
  2. 模糊性:D(A) = 1 當且僅當 ∀ uUA(u) = 0.5。(隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。)
  3. 單調性:∀ uU,若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5,或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5,則 D(A) ≤ D(B)。
  4. 對稱性:∀ AF(U),有 D(Ac) = D(A)。(補集的模糊度相等。)
  5. 可加性:D(AB) + D(AB)=D(A) + D(B)。

則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數,而 D(A) 為模糊集 A模糊度

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的[1],一個常用的公式(分別針對有限和無限論域)就是
 
其中 p > 0 是參數,稱為 Minkowski 模糊度。特別地,當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標,當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊集的運算

各種算子

  • Zadeh 算子,max 即為並,min 即為交

 

  • 代數算子(概率和、代數積)

 

  • 有界算子

 

  • Einstein 算子

 

  • Hamacher 算子,其中ν ∈ [0,+∞) 是參數,等於1時轉化為代數算子,等於2時轉化為 Einstein 算子

 

  • Yager 算子,其中 p 是參數,等於1時轉化為有界算子,趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

 

  • λ-γ 算子,其中 λ,γ ∈ [0,1] 是參數

 

  • Dobois-Prade 算子,其中 λ ∈ [0,1] 是參數

 

算子的性質

參見集合代數布爾代數

主要算子的性質對比表如下(.表示不滿足,-表示未驗證):

算子 結合律 交換律 分配律 互補律 同一律 冪等律 支配律 吸收律 雙重否定律 德·摩根律
Zedah .
代數 . . . . -
有界 . . -

線性補償是指:  [2]

算子的並運算 冪等律 排中律 分配律 結合律 線性補償
Zadeh . .
代數 . . . .
有界 . . .
Hamacher r = 0 . . . .
Yager . . . .
Hamacher . . . .
Dobois-Prade . . . .

模糊集與經典集的關係

截集與截積

 ,任取  ,則

 

AλAλ 截集,而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >,記為 A,稱為強截集

截集和強截集都是經典集合。此外,顯然 A1A,即 kerA;如果 kerA ≠ ø,則稱 A 為正規模糊集,否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積:
λ ∈ [0,1],AF(U),則 ∀ uUλA截積(或稱為 λ 截集的數乘,記為 λA)定義為:

 

根據定義,截積仍是 U 上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理
AF(U),則

 

即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λAλ} 的並。也即,一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理
HU 上的任何一個集合套,則

 

U 上的一個模糊集,且 ∀ λ ∈ [0,1],有
(1) A = ∪α>λ H(α)
(2) Aλ = ∩α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上,我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量,此外,我們還可能需要將此度量標準化,也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離:

 

貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上,貼近度就是 1 - 距離(這裡的距離是上述標準化意義上的距離)。而之所以應用這個變換,是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近,貼近的程度顯然越「高」,因此它恰為距離的反數。

除了距離外,還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

  • 最大最小貼近度
 
  • 算術平均最小貼近度
 
  • 幾何平均最小貼近度
 
  • 指數貼近度
 

模糊關係

模糊關係是建立在模糊集上的關係,此外,它也有一些特別的性質和應用。

定義

UV 是論域,U × V = {(x , y) | xU, yV } 是 UV 的笛卡爾直積,則每個模糊子集 RU × V 都稱為從 UV 的一個模糊關係。若 U = V,則稱 RU 中的模糊關係。如果 R(x,y) = α,則稱 xy 具有關係 R 的程度為 α。特別地:

  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × U,當 x = yR = 1,當 xyR = 0,則稱 RU 上的恆等關係,記為 I
  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 0,則稱 R 為從 UV 的零關係,記為 0
  • 若 ∀ (x,y) ∈ U × V,有 R(x,y) = 1,則稱 R 為從 UV 的全稱關係,記為 E


模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算,實質上就是模糊集的相應運算(採用 Zadeh 算子)。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置,定義為

RT(x,y) = R(y,x)

易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。[3]

關係以及關係的合成的矩陣表達

關係的合成
對於從 U x-mV y-p 的關係 R,以及從 V y-pW z-n 的關係 S,那麼從 UW模糊複合關係 R · S

 

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大(即 Zedah 算子)。由此可知,模糊複合關係的運算,就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算,只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧,而加法改為 ∨ 即可。

例子:設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}:

UV 的模糊關係 R
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1,   (2,b)=0,   (2,c)=0
(3,a)=0,   (3,b)=1,   (3,c)=0
(4,a)=0,   (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
VW 的模糊關係 S
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0   (b,β)=1
(c,α)=0   (c,β)=0.9

那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達(注意行列位置):

R a b c
1 0.7 0.5 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 0 0.4 0.3
S α β
a 0.6 0.8
b 0 1
c 0 0.9
R · S α β
1 0.6 0.7
2 0.6 0.8
3 0 1
4 0 0.4

模糊關係與分類

模糊等價關係定義:
U 中的模糊關係 R 滿足

1. 自反性
xU, R(x , x) = 1
2. 對稱性
x, yU, R(x , y) = R(y , x)
3. 傳遞性
x, y, zU, ∀ λ ∈ [0,1], 當 R(x , y) ≥ λR(y , z) ≥ λ 時,R(x , z) ≥ λ

則稱 RU 中的一個模糊等價關係。易知,對於一個固定的 λ ∈ [0,1] 來說,傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。

下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係:U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是,對於每個 λ ∈ [0,1],Rλ 截關係 RλU 中的普通等價關係。

只滿足自反性和對稱性,不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理:U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R2R

分類

  1. 如果模糊關係是等價關係,取某一水平的 λ 截集,即可得到這個水平上的分類。
  2. 如果模糊關係是相似關係,計算 R*R2^k = R2^(k+1),則 R* 可被證明是等價關係。

模糊推理

注釋

  1. ^ 要注意:嚴格地說,模糊集或子集是映射所確定的序對集,但由於模糊子集完全由其隸屬函數所確定,因而我們不區分映射和映射所確定的序對集,而總是直接把模糊子集定義為一個滿足上述定義的映射。

參考文獻

  1. ^ 陳水利等,模糊集理論及其應用,科學出版社,2005年,第20頁。
  2. ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理論與近似推理,武漢大學出版社,2004年,第103頁。
  3. ^ 陳水利等,模糊集理論及其應用,科學出版社,2005年,第62頁。