梯度下降法 （英語：Gradient descent ）是一個一階最優化 算法 ，通常也稱為最陡下降法 ，但是不該與近似積分的最陡下降法 （英語：Method of steepest descent ）混淆。
要使用梯度下降法找到一個函數的局部極小值 ，必須向函數上當前點對應梯度 （或者是近似梯度）的反方向 的規定步長距離點進行迭代 搜索。如果相反地向梯度正方向 迭代進行搜索，則會接近函數的局部極大值 點；這個過程則被稱為梯度上升法 。
梯度下降法的描述。 梯度下降方法基於以下的觀察：如果實值函數
F
(
x
)
{\displaystyle F(\mathbf {x} )}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
可微 且有定義，那麼函數
F
(
x
)
{\displaystyle F(\mathbf {x} )}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
梯度 相反的方向
−
∇
F
(
a
)
{\displaystyle -\nabla F(\mathbf {a} )}
因而，如果
b
=
a
−
γ
∇
F
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {a} -\gamma \nabla F(\mathbf {a} )}
對於一個足夠小數值
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
F
(
a
)
≥
F
(
b
)
{\displaystyle F(\mathbf {a} )\geq F(\mathbf {b} )}
考慮到這一點，我們可以從函數
F
{\displaystyle F}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
{\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots }
x
n
+
1
=
x
n
−
γ
n
∇
F
(
x
n
)
,
n
≥
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\gamma _{n}\nabla F(\mathbf {x} _{n}),\ n\geq 0}
因此可得到
F
(
x
0
)
≥
F
(
x
1
)
≥
F
(
x
2
)
≥
⋯
,
{\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})\geq F(\mathbf {x} _{1})\geq F(\mathbf {x} _{2})\geq \cdots ,}
如果順利的話序列
(
x
n
)
{\displaystyle (\mathbf {x} _{n})}
步長
γ
{\displaystyle \gamma }
右側的圖片示例了這一過程，這裡假設
F
{\displaystyle F}
碗 形。藍色的曲線是等高線 （水平集 ），即函數
F
{\displaystyle F}
等高線 垂直）。沿着梯度下降 方向，將最終到達碗底，即函數
F
{\displaystyle F}
梯度下降法處理一些複雜的非線性函數會出現問題，例如Rosenbrock函數
f
(
x
,
y
)
=
(
1
−
x
)
2
+
100
(
y
−
x
2
)
2
.
{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad }
其最小值在
(
x
,
y
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle (x,y)=(1,1)}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
(
x
,
y
)
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle (x,y)=(1,1)}
下面這個例子也鮮明的示例了"之字"的上升 （非下降），這個例子用梯度上升 （非梯度下降）法求
F
(
x
,
y
)
=
sin
(
1
2
x
2
−
1
4
y
2
+
3
)
cos
(
2
x
+
1
−
e
y
)
{\displaystyle F(x,y)=\sin \left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}+3\right)\cos(2x+1-e^{y})}
局部極大值 （非局部極小值）。
梯度下降法的缺點包括：[ 1]
靠近局部極小值時速度減慢。
直線搜索可能會產生一些問題。
可能會「之字型」地下降。 上述例子也已體現出了這些缺點。
Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0 .
Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8
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