格羅滕迪克伽羅瓦理論

數學中，格羅滕迪克伽羅瓦理論（Grothendieck's Galois theory）是域的伽羅瓦理論的一種抽象方法，為代數幾何背景下研究代數拓撲的基本群提供了一種方法，大約發展於1960年前後。格羅滕迪克伽羅瓦理論在經典域論背景下提供了一種不同於埃米爾·阿廷的線性代數視角，後者在1930年代成為標準。

亞歷山大·格羅滕迪克的方法關注範疇論性質，是定投射有限群（profinite group）G的有限G集合範疇的特徵。例如，G可能是表為 ${\hat {\mathbb {Z} }}$ 的群，是循環加性群 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 的逆極限，或等價於有限索引的子群拓撲的有限循環群Z的完備化。因此有限G集是有限集X，其上的G通過商有限循環群作用於X，從而通過給出X的某種置換來指定它。

在上面的例子中，通過把 ${\hat {\mathbb {Z} }}$ 看做任意有限域F在F上的代數閉包 ${\bar {F}}$ 的投射有限伽羅瓦群 ${\rm {Gal}}({\bar {F}}/F)$ ，可以看出其與經典伽羅瓦理論的聯繫。即，當在F上取越來越大的有限分裂域時，固定F的 ${\bar {F}}$ 的自同構由逆極限描述。觀察去原點複平面的單位圓盤的覆疊空間時，就會發現其與幾何之間的聯繫：通過復變量z考慮，圓盤的 $z^{n}$ 映射實現的有限覆蓋對應去心圓盤基本群的子群n.Z。

格羅滕迪克理論發表於SGA1，展示了如何從纖維函子 $\Phi$ 重構G集範疇，在幾何情景中，纖維函子 $\Phi$ 將覆蓋的纖維置於固定基點上（作為集合）。事實上，已證明有同構類型

G\cong {\rm {Aut}}(\Phi ),

後者是 $\Phi$ 的自同構群（自自然等價）。我們給出範疇的抽象分類，其中給出到集合範疇的函子，這樣就可以識別G投射有限的G集範疇。

為了了解這如何應用於域的情形，必須研究域的張量積。拓撲斯理論中，這是原子拓撲斯研究的一部分。

另見

參考文獻

Grothendieck, A.; et al. SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-36910-3. arXiv:math/0206203  .
Joyal, André; Tierney, Myles. An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. 1984. ISBN 0-8218-2312-4.

Borceux, F.; Janelidze, G. Galois theories. Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-80309-8. (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
Szamuely, T. Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. 2009. ISBN 978-1-139-48114-4.
Dubuc, E.J; de la Vega, C.S. On the Galois theory of Grothendieck. 2000. arXiv:math/0009145  .

Caramello, Olivia. Topological galois theory. Advances in Mathematics. 2016, 291: 646–695. arXiv:1301.0300  . doi:10.1016/j.aim.2015.11.050  .