查普曼-科爾莫戈羅夫等式

數學概率論中,尤其是隨機過程理論中,查普曼-科爾莫戈羅夫等式是一個重要的結論。它將一個隨機過程的幾個不同維的聯合分布函數聯繫在一起。

假設 { fi } 是一個隨機過程,即一個隨機變量集合(每個元素對應一個只命名不排序的索引)。 記

為從f1fn的各隨機變量的聯合分布函數,則查普曼-科爾莫戈羅夫等式為:

也就是說,這是一個直接定義在干擾隨機變量上的條件概率。 (注意這裡各隨機變量的順序不重要)

該公式名稱來自數學家西德尼·查普曼安德雷·柯爾莫哥洛夫

特化為馬爾可夫鏈

如果隨機過程特定為馬爾可夫鏈,查普曼-科爾莫戈羅夫等式就是關於轉移概率的公式。在馬爾可夫鏈中,隨機變量在一個按時間排序的數組 中。按馬爾可夫性質(無記憶性質),

 

(其中條件概率  時間的轉移概率。查普曼-科爾莫戈羅夫等式簡化為:

 

如果馬爾可夫鏈的狀態空間的概率分布是離散的,查普曼-科爾莫戈羅夫等式可表示為(可到無窮維的)矩陣相乘

 

(其中 是轉移矩陣, t時間的系統狀態),則對於系統狀態空間中的任意兩個點ij

 

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參考文獻