無字證明

無字證明(英語:proof without words)是指僅用圖像而無需文字解釋就能不證自明的數學命題。由於其不證自明的特性,這種證明方式被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理。[1]無字證明通常只是用圖像來說明一個證明中的特例,因而需要推廣才能構成完整的證明。[2]

奇數之和定理的無字證明
周髀算經》中勾股定理的無字證明
延森不等式的無字證明

示例

奇數之和

從1至2n-1之間的所有奇數之和為平方數n2的無字證明如右圖所示。[3]第一個正方形由一個方塊組成,即1為首個平方數。之後增加3個白色方塊以組成第二個正方形,總共有4個方塊,即4為第二個平方數。之後再增加5個黑色方塊組成下一個平方數9,並以此類推。

勾股定理

勾股定理可以由右邊第二張圖(出自《周髀算經》)進行證明。通過兩種不同的方法計算大的正方形的面積可以得到

 

雖然沒有上一個例子那麼明顯,但也可以看作是無字證明。[4]

延森不等式

延森不等式可由右邊第三張圖加以證明。沿X軸的點曲線為X的假想分布,沿Y軸的點曲線則為相應的Y的分布。可以看到隨着X值的增大,凸映射Y(X)使得分布不斷地「延長」。[5]

其他範例

參見

注釋

  1. ^ Dunham 1994,第120頁
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Proof without Words. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).  Retrieved on 2008-6-20
  3. ^ Dunham 1994,第121頁
  4. ^ Nelsen 1997,第3頁
  5. ^ Jensen's Inequality, Bulletin of the American Mathematical Society 43 (8) (American Mathematical Society), 1937, 43 (8): 527 
  6. ^ 6.0 6.1 周伯欣. 二元算幾不等式的一個無字證明一一 附記一段學思歷程 (PDF). 數學傳播: 35-38頁. (原始內容存檔 (PDF)於2024-09-01) (中文(臺灣)). 

參考文獻

  • Dunham, William, The Mathematical Universe, John Wiley and Sons, 1974, ISBN 0-471-53656-3 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 160, 1997, ISBN 978-0-88385-700-7 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America: 142, 2000, ISBN 0-88385-721-9