拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：

給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）

此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，喬治·莫爾證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖，但此證明直到1928年才被發現。

找出圓心

$C$→深藍、$C_{1}$→紅、$C_{2}$→綠、$C_{3}$→紫、$C_{4}$→藍

作法

1. 在已知的圓$C$上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 ${\color {Red}C_{1}}$（必須和圓$C$有交點，長度最好差不多有半圓那麼長，方便第三步作圖），交圓$C$於 B'、B 兩點。
2. 分別以B'、B為圓心， ${\overline {B'A}}$ 、${\overline {BA}}$ 為半徑，畫兩條弧 ${\color {Green}C_{2}}$，兩弧線相交於 A 點和 C 點。
3. 再以 C 點為圓心、 ${\overline {CA}}$為半徑，畫弧 ${\color {RawSienna}C_{3}}$ ，交弧${\color {Red}C_{1}}$於 D'、D兩點。
4. 以D'、D為圓心， ${\overline {D'A}}$ 、${\overline {DA}}$ 為半徑，畫兩條弧 ${\color {blue}C_{4}}$ ，兩弧線相交於A點和O點。（O點即圓$C$的圓心）

證明

設圓$C_{1}$的半徑為$a$，圓$C_{3}$的半徑為$b$，我們知道：

$a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}$

$b={\overline {AC}}={\overline {DC}}$

因為$\triangle ADC\thicksim \triangle AOD$，所以${\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}$

由於${\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}$，可以得出$\triangle ABC\thicksim \triangle AOB$

根據對稱性，${\overline {AO}}$通過圓心，又${\overline {AO}}={\overline {OB}}$，所以$O$是圓$C$的圓心。

四等分圓

作法

由前面我們已經知道圓心的位置

1. 在已知的圓上找任意一點 $X$，以${\overline {XO}}$為半徑畫弧 ${\color {Red}C_{1}}$，交圓於 $V$、$Y$ 兩點。
2. 以 $Y$ 為圓心，${\overline {YO}}$為半徑畫弧 ${\color {Red}C_{2}}$，交圓於 $Z$ 點（和 $X$ 點）。
3. （繼續分別以 $Z$、$V$ 為圓心，${\overline {ZO}}$、${\overline {VO}}$ 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）$V$、$X$、$Y$、$Z$ 為四個六等分點（如圖）。
4. 以 $V$ 為圓心，${\overline {VY}}$為半徑畫弧 ${\color {blue}C_{3}}$；以 $Z$ 為圓心，${\overline {ZX}}$為半徑畫弧 ${\color {blue}C_{4}}$，兩弧交於 $T$ 點。
5. 以 $Z$ 為圓心，取${\overline {OT}}$的長度 ${\color {Green}D}$ 為半徑畫弧 ${\color {Green}C_{5}}$，交圓於 $U$、$W$ 兩點。
6. $V$、$W$、$Z$、$U$ 四點將圓四等分。

證明

設圓的半徑為$a$，容易得出${\overline {OV}}$、${\overline {OX}}$、${\overline {OY}}$、${\overline {OZ}}$、${\overline {VX}}$、${\overline {XY}}$、${\overline {YZ}}$的長度都是$a$，可以得出${\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a$，根據畢氏定理可以得出${\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a$，因此$V$、$W$、$Z$、$U$四點將圓四等分。

參見

• 拿破崙定理
• 尺規作圖
• 圓規作圖

參考資料

• Napoleon's Problem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）MathWorld
• 拿破崙分圓