擬陣有很多等價的定義方式[ 1]
就獨立集來說, 一個有限的擬陣
M
{\displaystyle M}
(
E
,
I
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {I}})}
E
{\displaystyle E}
有限集 (稱之為 基礎集 ) ，
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
E
{\displaystyle E}
集族 (稱之為 獨立集 ) 它需要滿足下面的條件:[ 2]
空集 是獨立的, 也就是說,
∅
∈
I
{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {I}}}
E
{\displaystyle E}
I
≠
∅
{\displaystyle {\mathcal {I}}\neq \emptyset }
每個獨立集的子集是獨立的, 即： 對於每個子集
A
′
⊂
A
⊂
E
{\displaystyle A'\subset A\subset E}
A
∈
I
{\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}
A
′
∈
I
{\displaystyle A'\in {\mathcal {I}}}
遺傳特性 .
如果
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
擴充特性 或者叫 獨立集交換特性 . 頭兩個特性定義了一個公認的組合結構，叫做獨立系統 。
對於有限擬陣
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
基底 （英文：basis）。擬陣的一種等價定義為二元組
(
E
,
B
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {B}})}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
基 ，滿足以下條件:[ 1]
B
≠
∅
{\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \emptyset }
對於
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
a
∈
A
−
B
{\displaystyle a\in A-B}
b
∈
B
−
A
{\displaystyle b\in B-A}
A
∪
{
b
}
−
{
a
}
∈
B
{\displaystyle A\cup \{b\}-\{a\}\in {\mathcal {B}}}
可以證明，一個有限擬陣的所有基底的元素個數都相同，這個數被稱為擬陣的秩 。
對於有限擬陣
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
環路 （英文：circuit）。擬陣的一種等價定義為二元組
(
E
,
C
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {C}})}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
[ 1]
∅
∉
C
{\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {C}}}
如果
C
1
,
C
2
∈
C
{\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}
C
1
⊆
C
2
{\displaystyle C_{1}\subseteq C_{2}}
C
1
=
C
2
{\displaystyle C_{1}=C_{2}}
對於
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
1
,
C
2
{\displaystyle C_{1},C_{2}}
a
∈
C
1
∩
C
2
{\displaystyle a\in C_{1}\cap C_{2}}
C
3
∈
C
{\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}
C
3
⊆
C
1
∪
C
2
−
{
a
}
{\displaystyle C_{3}\subseteq C_{1}\cup C_{2}-\{a\}}
可以證明，基礎集的一個子集是獨立集當且僅當它不包含任一環路作為子集。
類似線性代數基底 的性質，擬陣的基底具有類似的性質：
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
秩 。
^ 1.0 1.1 1.2 A standard source for basic definitions and results about matroids is Oxley (1992). An older standard source is Welsh (1976). See Bryzlawski's appendix in White (1986) pp.298–302 for a list of equivalent axiom systems.
^ Welsh (1976) harvtxt error: no target: CITEREFWelsh1976 (help ) , Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.
