拓撲量子場論

拓撲量子場論（又稱拓撲場論，簡稱TQFT）是一類計算拓撲不變量的量子場論。其共同特徵是某些相關函數不依賴於背景時空流形的度量。

雖然拓撲量子場論由物理學家發明，但是在數學上也具有重要意義，與紐結理論、代數拓撲中的4-流形（英語：4-流形）、代數幾何中的模空間等分支均有聯繫。西蒙·唐納森、沃恩·瓊斯、愛德華·威滕和馬克西姆·孔采維奇都因對拓撲場論方面的研究而獲得菲爾茲獎。

20世紀70年代，阿爾伯特·施瓦茨（英語：Albert Schwarz）就研究過一種拓撲量子場論（陳-西蒙斯理論）。80年代末，在邁克爾·阿蒂亞啟發下，研究了三個拓撲量子場論：一個由超對稱楊-米爾斯場論扭變得到，用以將西蒙·唐納森不變量和弗勒爾瞬子同調解釋為量子物理對象；第二個是非阿貝爾的陳-西蒙斯理論，用以將瓊斯多項式及其衍生物解釋為量子物理對象；第三個由超對稱 Σ 模型扭變得到，用以將格羅莫夫的贗全純曲線和弗勒爾的拉格朗日同調解釋為量子物理對象。1994年威滕應用弦論學家得到的強弱對偶結果將唐納森不變量等價為更易計算的塞伯格-威滕不變量。進入21世紀，威滕等人又研究了具有更多超對稱的楊-米爾斯場論的扭變，並將數學中的幾何郎蘭茲對偶解釋為量子場論中的強弱對偶。威滕等人進一步發現，Σ模型、陳-塞蒙斯場論、以及超對稱楊-米爾斯場論之間有千絲萬縷的聯繫，它們都可以包含在弦論或者M-理論中，在這個大框架之下，瓊斯多項式的範疇化——霍萬諾夫同調被解釋為量子物理對象。

在凝聚體物理學中，拓撲量子場論是拓撲有序態的低能有效理論，例如分數量子霍爾態、弦網凝聚態及其他強關聯液態自旋量子。

綜述

在拓撲量子場論中，相關函數並不取決於時空的度量。這意味着理論對時空形狀的改變不敏感：時空彎曲或收縮時，相關函數並不因此改變。因此，它們是拓撲不變量。

在粒子物理學中常用的、平坦的閔可夫斯基時空中，拓撲場論並不十分有趣。這是由於閔可夫斯基空間可以被收縮成一點，所以其中的TQFT只計算出平凡的拓撲不變量。因此，TQFT通常在黎曼曲面等彎曲的時空上研究。大多數已知的拓撲場論定義在5維的彎曲時空中。更高維度的拓撲場論似乎存在，但人們未能清楚理解這些理論。

量子引力被相信是背景獨立的（在費曼路徑積分要積掉所有光滑同胚下不等價的度量這個意義上），而TQFT恰好能提供背景獨立的量子場論的例子。這一特性促進了現行的對此類模型的理論探索。

（注意：常有說法指出TQFT只有有限多的自由度。這並不是TQFT的一個基本性質，而是恰好在物理學家考慮的大多數例子中成立，但不是一個必要條件。目標空間為無限維射影空間的拓撲σ-模型——若此模型能被成功定義——將擁有可數無窮多個自由度。）

具體模型

已知的拓撲場論可分為兩個大類：施瓦茨類TQFT與威滕類TQFT。後者有時被稱為上同調場論。

施瓦茨類TQFT/陳-西蒙斯

在施瓦茨類TQFT中，系統的相關函數或配分函數可由度量獨立的作用量泛函的路徑積分計算出來。例如，在BF模型中，時空為二維流形 M，可觀察量由2-形式 F、輔助標量 B以及它們的導數所構造得到。作用量（決定了路徑積分）為

S=\int _{M}BF\,

時空度量在理論任何地方都沒有出現，因此這個理論顯然是拓撲不變的。第一個TQFT的例子於1977年由A. Schwarz給出，它的作用量泛函是

\int _{M}A\wedge dA.

另一個較為著名的例子是陳-西蒙斯理論，可用於計算紐結不變量。一般而言配分函數取決於度量，但以上兩例得證為度量獨立。

威滕類TQFT

第一個威滕類TQFT的例子出現於威滕1988年的論文(Witten 1988a)中，即4維的拓撲楊–米爾斯理論。雖然其中的作用量泛函包含時空度量 g_αβ，但是在拓撲扭曲之後，理論變為度量獨立。而系統應力-能量張量 T^αβ 對度量的獨立性則取決於BRST-算子是否閉合。遵循着威滕的例子，人們在拓撲弦論中找到了大量其它的例子。

數學表述

最初的阿蒂亞—西格爾公理

受格雷姆·西格爾（英語：Graeme Segal）所提出的共形場論的公理和威滕的超對稱的幾何意義的想法(Witten 1982)的啟示，阿蒂亞提出了一套拓撲量子場論的公理(Atiyah 1988a)。阿蒂亞的公理建立於以可微變換（或以拓撲變換/連續變換）粘合邊界，類比於西格爾公理中所使用的共形變換。這套公理對於施瓦茨類TQFT的數學處理相對有用，但其如何體現威滕類TQFT的全部結構卻不清楚。公理的基本思路是將TQFT視為從某個特定配邊的範疇到向量空間的範疇的一個函子。

有兩套不同的公理都可被稱作阿蒂亞公理。它們的區別基本在於所研究的TQFT是定義在某個單一固定的n 維黎曼/洛侖茲時空M 中，或者是同時定義在所有n 維時空中。

設Λ為帶單位元的交換環（出於現實考慮，我們幾乎只研究Λ = Z、R或 C）。對於定義在基環Λ上的d 維TQFT，阿蒂亞最初提議的公理如下：

對每個已定向閉合光滑d 維流形Σ，賦予一個有限生成的Λ-模Z(Σ)（對應於同倫公理），
對每個帶邊界的已定向光滑(d+1)維流形M，賦予一個元素Z(M) ∈ Z(∂M)（對應於可加性 公理）。

這些數據需滿足如下公理（其中公理4和5為阿蒂亞添加的）：

Z 滿足關於Σ與M 的保向微分同胚的函子性。
Z 是對合的，即Z(Σ*) = Z(Σ)*，其中Σ*為Σ取相反定向，而Z(Σ)* 代表Z(Σ)的對偶模。
Z 是可乘的。
Z(φ) = Λ 當φ是d 維空流形，以及Z(φ) = 1 當φ是(d+1)維空流形。
Z(M*) = Z(M)（埃爾米特 公理）。等價地，Z(M*)是Z(M)的伴隨。

注意．如果對閉合流形 M 我們視Z(M)為一個數值不變量，那麼對帶邊流形我們應視Z(M) ∈ Z(∂M)為「相對」不變量。設f : Σ × I → Σ × I為保向微分同胚，然後通過f 粘合Σ × I 的兩端。這樣我們得到流形Σ_f，而公理蘊涵了

Z(\Sigma _{f})={\text{Trace}}\ \Sigma (f)

這裡Σ(f)指Z(Σ)上的誘導自同構。

注意． 若M 是一個邊界為Σ的帶邊流形，我們總能構造其「雙倍」、閉合流形 $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ 。第五條公理表明

Z(M\cup _{\Sigma }M^{*})=|Z(M)|^{2}

其中等式右邊我們計算由（可能是未定的）埃爾米特度量中的範數。

與物理的聯繫

物理上，公理(2)和(4)與相對論不變性有關，而公理(3)和(5)則說明理論的量子本質。

Σ意指物理空間（在標準物理中通常取d = 3），而Σ × I 中的額外維度是「虛構」的時間。空間Z(Σ) 是量子理論的希爾伯特空間，而帶有哈密頓算符H 的物理理論將具有時間演化算子e^itH 或「虛構時間」算子e^−tH。拓撲量子場論的主要特色是H = 0，這一特徵蘊涵了圓柱Σ × I 上並無實動態或傳播。然而，非平凡的「傳播」（或稱穿隧振幅）卻可以通過中介流形 $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ 從Σ₀傳到Σ₁；這反映出M 的拓撲性質。

若∂M = Σ，那麼希爾伯特空間Z(Σ)中特別的向量Z(M)可被看作又M 定義的真空態。對於閉合流形M 數值Z(M)即真空期望值。類比於統計力學，它又稱為配分函數。

理論中哈密頓算符為零的原因可通過費曼對量子場論的路徑積分表述合理地解釋。它整合了相對論不變性（適用於一般(d+1)維「時空」），且理論在形式上可由適當的拉格朗日量——該理論中經典場的泛函——定義。若拉格朗日量形式上只涉及時間上的一階導數，它將導出零哈密頓算符，但拉格朗日量本身可以擁有非平凡的特性，將其與流形M 聯繫起來。

阿蒂亞的例子

1988年，阿蒂亞發表論文，描述了許多當年學界考慮到TQFT的新例子。(Atiyah 1988)論文討論了一些新的拓撲不變量和新思想，包括卡森不變量、唐納森不變量、格羅莫夫理論、弗洛爾同調和瓊斯多項式。

d = 0

在這種情況下，Σ由有限多個點組成。對每個單點我們賦予一個向量空間V = Z (point)，並對每n 個點賦予n 重張量積V ^⊗n = V ⊗ ... ⊗ V。對稱群S_n 作用在V ^⊗n 上。得到量子希爾伯特空間的標準方法是先給出一個經典辛流形（或稱為相空間），然後將其量子化。我們將S_n 擴張成緊緻李群G，並考慮「可積」軌道，其辛結構由線叢得到，這樣量子化就給出了G 在V 上的不可約表示。這是博雷爾—韋伊定理或博雷爾—韋伊—博特定理的物理詮釋。這些理論的拉格朗日量為經典作用量（即線叢的和樂）。從而，d = 0 情況下的拓撲量子場論自然地與經典的李群和對稱群的表示論聯繫起來。

d = 1

d = 2

d = 3

固定時空的情況

設Bord_M 為如下範疇：態射M 的n 維子流形、對象為這些子流形的邊界的連通單元。若兩個態射經由M 的子流形同倫等價，那麼我們視它們為等價態射，並由此得到商範疇hBord_M：hBord_M 的對象為Bord_M 的對象，而hBord_M 的態射為Bord_M 中態射的等價類。M 上的TQFT是一個從hBord_M 到向量空間的範疇的對稱幺半函子。

注意到若兩個配邊的邊界吻合，它們可以被「縫合」而生成一個新的配邊。這是配邊範疇里的運算。由於函子需要保留運算，這要求縫合的配邊對應的線性映射等於每個配邊所對應的線性映射的合成。

2維TQFT的範疇與交換弗羅貝尼烏斯代數的範疇等價。

同時考慮所有n 維時空

一個pair of pants是一個(1+1)維協邊，對應2維TQFT里的一個積或上積。

要同時考慮所有時空，我們必須將hBord_M 替換成一個更大的範疇。因此設Bord_n 為協邊的範疇：態射為n 維帶邊流形，對象為n 維流形的邊界的連通單元。（注意到所有(n−1)維流形都可以是Bord_n 的對象。）與上節相仿，若兩態射同倫等價，則視其為等價態射，並得到商範疇 hBord_n 。Bord_n 是一個幺半範疇，其運算為將兩個協邊映射到它們的不交並。那麼，n 維流形上的TQFT就是一個從hBord_n 到向量空間的範疇的函子，並將協邊的不交並映到張量積。

例如，對於(1+1)維協邊（1維流形之間的2維協邊），pair of pants所對應的映射給出了積或上積，取決於邊界單元的分組滿足交換律或上交換律，而圓盤所對應的映射給出了上單位元（跡）或單位元（標量），同樣取決於邊界的分組。因此，(1+1)維TQFT對應於弗羅貝尼烏斯代數。

此外，我們同時考慮由以上的協邊聯繫的四維、三維及二維流形，可以得到大量重要的實例。

後續發展

拓撲量子場論對塞伯格—威滕規範場論、拓撲弦理論、紐結理論和量子理論的關聯、和量子紐結不變量等有諸多應用。此外，它為數學和物理都提供了非常有趣的研究對象。最近，TQFT中的非局部算子成為重要的研究方向(Gukov & Kapustin (2013))。如果弦理論被視作根本理論，那麼非局部TQFT則是為局部弦理論提供一個簡化計算的逼近的非物理的模型。

參閱

參考文獻

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Atiyah, Michael. New invariants of three and four dimensional manifolds. Proc. Symp. Pure Math., 48, American Math. Soc. 1988, 48: 285–299.