本文介紹聯絡的撓率，關於撓率的其他用法，參見
撓率 。
在微分幾何 中，扭率 或稱撓率 此一概念是刻畫沿着曲線移動的標架 的扭曲或螺旋 的方法。例如曲線的撓率 ，出現在弗萊納公式 中，量化了一條曲線變化時關於它的切向量的扭曲程度（更確切的說弗萊納標架 關於切向量的旋轉）。在曲面的幾何中，「測地撓率」描述了曲面關於曲面上一條曲線的扭曲。相伴的曲率 概念度量了沿着曲線的活動標架「沒有扭曲的轉動」。
沿着測地線的撓率 更一般地，在裝備一個仿射聯絡 （即切叢 的一個聯絡 ）的微分流形 上，撓率與曲率構成了聯絡的兩個基本不變量。在這種意義下，撓率給出了切空間 關於一條曲線平行移動 怎樣扭曲的內蘊刻畫；而曲率描述了切空間沿着曲線怎樣旋轉。撓率可具體的描述為一個張量 ，或一個向量值 2-形式 。如果 ∇ 是微分流形上一個聯絡，那麼撓率張量用向量場 X 與 Y 表示定義為：
T
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
這裡 [X ,Y ] 是向量場的李括號 。
撓率在測地線 幾何的研究特別重要。給定一個參數化測地線系統，我們一定指定一族仿射聯絡具有這些測地線，但是具有不同的撓率。具有惟一「吸收撓率」的聯絡，將列維-奇維塔聯絡 推廣到其他，也許沒有度量的情形（比如芬斯勒幾何 ）。吸收撓率在G-結構 與嘉當等價方法 的研究中也起着重要的作用。撓率通過關聯的射影聯絡 在研究測地線非參數族也很有用。在相對論 中，這種想法以愛因斯坦-嘉當理論 的形式提供了工具。
設 M 是切叢上帶有聯絡 ∇ 的流形。撓率張量 （有時也稱為嘉當（撓率）張量）是一個向量值 2-形式 ，定義在向量場 X 於 Y 上
T
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}
這裡 [X ,Y ] 是兩個向量場的李括號 。由萊布尼茲法則 ，對任何光滑函數 f 有 T (fX ,Y ) = T (X ,fY ) = fT (X ,Y )。所以 T 是一個張量 ，儘管是用非張量的共變導數 定義的：它給出了切向量上的一個 2 形式，但共變導數隻對向量場有定義。
聯絡 ∇ 的曲率張量 是一個映射 TM ∧ TM → End(TM ) ，定義在向量場 X , Y , 與 Z 上
R
(
X
,
Y
)
Z
=
∇
X
∇
Y
Z
−
∇
Y
∇
X
Z
−
∇
[
X
,
Y
]
Z
.
{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}
注意，對位於一點的向量，這個定義與這個向量如何擴張成一個向量場的方式無關（即定義了一個張量，類似於撓率）。
比安基恆等式 聯繫了曲率和撓率。[ 1] X , Y 與 Z 的循環求和 記為
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
:=
R
(
X
,
Y
)
Z
+
R
(
Y
,
Z
)
X
+
R
(
Z
,
X
)
Y
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .}
那麼下面的公式成立
1. 比安基第一恆等式 ：
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
=
S
(
T
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
+
(
∇
X
T
)
(
Y
,
Z
)
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,}
2. 比安基第二恆等式 ：
S
(
(
∇
X
R
)
(
Y
,
Z
)
+
R
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
)
=
0
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .}
撓率張量在切叢的局部截面 的基 (e 1 , ..., e n ) 下可寫成分量
T
c
a
b
{\displaystyle T^{c}{}_{ab}}
X =e i ，Y =e j ，引入交換子係數 γk ij e k := [e i ,e j ]。那麼撓率的分量是
T
k
i
j
:=
Γ
k
i
j
−
Γ
k
j
i
−
γ
k
i
j
,
i
,
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}
如果基是和樂 的，則李括號變為零，
γ
k
i
j
=
0
{\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}
T
k
i
j
=
2
Γ
k
[
i
j
]
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}
測地線方程 確定聯絡的對稱部分，而撓率張量確定反對稱部分。
撓率形式 ，是撓率的另一種刻畫，適用於 M 的標架叢 FM 。這個主叢 裝備有一個聯絡形式 ω，一個 gl (n )-值的 1-形式將豎直向量映到 gl (n ) 中的右作用的生成元，且通過在 gl (n ) 上的伴隨表示 等變糾纏於 GL(n ) 在 FM 的切叢上的右作用。標架叢也帶有一個典範 1 形式 θ，取值於
R n ，定義在標架 u ∈ Fx M （視為一個線性函數 u : R n → Tx M ）為
θ
(
X
)
=
u
−
1
(
d
π
(
X
)
)
{\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}
這裡 π : FM → M 是主叢的投影映射。那麼撓率形式是
Θ
=
d
θ
+
ω
∧
θ
.
{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .}
等價地， Θ = Dθ，這裡 D 是由聯絡確定的外共變導數 。
撓率形式是一個取值於 R n 的（水平）扭曲形式 ，意味着在 g ∈ Gl(n ) 的右作用下等變：
R
g
∗
Θ
=
g
−
1
⋅
Θ
,
{\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,}
這裡 g 通過它在 R n 上的基本表示作用在左邊。
曲率形式 是 gl (n )-值 2-形式
Ω
=
D
ω
=
d
ω
+
ω
∧
ω
.
{\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .}
這裡，D 同樣表示外共變導數。用曲率形式和撓率形式表示，相應的比安基恆等式為：
[ 2]
D
Θ
=
Ω
∧
θ
{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }
D
Ω
=
0.
{\displaystyle D\Omega =0.\,}
進一步，我們可以從曲率形式和撓率形式復原曲率和撓率。在 Fx M 中的點 u ，我們有[ 3]
R
(
X
,
Y
)
Z
=
u
(
2
Ω
(
π
−
1
(
X
)
,
π
−
1
(
Y
)
)
)
(
u
−
1
(
Z
)
)
,
{\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}
T
(
X
,
Y
)
=
u
(
2
Θ
(
π
−
1
(
X
)
,
π
−
1
(
Y
)
)
)
,
{\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}
這裡 u : R n → Tx M 是確定纖維中標架的函數，且向量通過 π-1 的提升與選取無關，因為曲率和撓率形式是水平的（它們在不確定的豎直向量上為 0）。
撓率形式可用底流形 M 上的聯絡形式 ，在切叢的一個特殊的標架 (e 1 ,...,e n ) 下寫出。聯絡形式表述這些截面的外共變導數
D
e
i
=
∑
j
=
1
n
e
j
ω
i
j
.
{\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .}
切叢的焊接形式 （關於這個標架）是 e i 的對偶基 θi ∈ T* M ，所以 θi (e j ) = δi j （克羅內克函數 ）
那麼撓率 2-形式有分量
Θ
k
=
d
θ
k
+
∑
j
=
1
n
ω
j
k
∧
θ
j
=
∑
i
,
j
T
i
j
k
θ
i
∧
θ
j
.
{\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .}
在最右邊的表達式中，
T
i
j
k
=
θ
k
(
∇
e
i
e
j
−
∇
e
j
e
i
−
[
e
i
,
e
j
]
)
{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}
是撓率張量的標架分量，由首先的定義給出。
容易證明 Θi 像張量一個變化：如果另一個標架
e
~
i
=
∑
j
e
j
g
i
j
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}
對某個可逆矩陣值函數 (g i j )，那麼
Θ
~
i
=
(
g
−
1
)
j
i
Θ
j
.
{\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}
換句話說，Θ 是 (1,2) 型張量（一個反變、兩個共變指標）。
做為另一種選擇，焊接形式能用無標架形式刻畫為 M 上的 TM -值 1形式θ，在對偶同構 End(TM ) ≈ TM ⊗ T* M 下對應於切叢的恆等同態。則撓率 2-形式是
Θ
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
{\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}
的一個截面，由
Θ
=
D
θ
,
{\displaystyle \Theta =D\theta \ ,}
給出。這裡 D 是外共變導數 （更多細節參見聯絡形式 ）。
撓率張量可以分解為兩個不可約 部分：不含跡 的部分與包含跡的部分。用指標記法 ，T 的跡為
a
i
=
T
i
k
k
,
{\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,}
不含跡的部分為
B
j
k
i
=
T
j
k
i
+
1
n
−
1
δ
j
i
a
k
−
1
n
−
1
δ
k
i
a
j
{\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}
這裡 δi j 是克羅內克函數 。
本質上有，
T
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
.
{\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .}
T 的跡 tr T ，是如下定義的 T* M 中一個元素。對固定的任何向量X ∈ TM ，T 定義了一個 Hom(TM , TM ) 中一個元素 T (X )，通過
T
(
X
)
:
Y
↦
T
(
X
∧
Y
)
.
{\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .}
那麼 (tr T )(X ) 定義為這個同態的跡。這就是，
(
tr
T
)
(
X
)
=
def
tr
(
T
(
X
)
)
.
{\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .}
T 不含跡的部分為
T
0
=
T
−
1
n
−
1
ι
(
tr
T
)
{\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}
這裡 ι 表示內乘 。
作為比安基恆等式的推論，1-形式 tr T 是一個閉 1-形式：
d
(
tr
T
)
=
0
,
{\displaystyle d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,}
這裡 d 是外導數 。
這一節中總是假設：M 是微分流形 ，∇ 是 M 切叢 上的共變導數 除非另外指明。
假設 x t 是 M 上一條曲線。x t 的仿射 進化 x0 M 中惟一的曲線 C t 使得
C
˙
t
=
τ
t
0
x
˙
t
,
C
0
=
0
{\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}
這裡
τ
t
0
:
T
x
t
M
→
T
x
0
M
{\displaystyle \tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M}
是與 ∇ 關聯的平行移動 。
特別地，如果 x t 是一個閉環路 ，則 C t 是否閉取決於聯絡的撓率。從而撓率解釋為曲線的 development 的螺位錯 。這樣，撓率與聯絡的和樂 轉移分量聯繫起來。相伴的曲率概念描繪了無窮小線性變換（在黎曼聯絡 情形或為旋轉）。
在經典曲線的微分幾何 中，弗萊納公式 描述了一個特別的活動標架（弗萊納標架 ）沿着一條曲線怎樣「扭曲」。用物理語言，撓率對應於一個假想的沿着曲線的陀螺 的角動量 。
帶有（度量）聯絡的流形可類比地解釋。假設一個觀察者沿着這個聯絡下的測地線移動。這個觀察者通常認為自己是在慣性參考系 中，因為她沒有經歷過加速度 。另外假設觀察者攜帶着一個剛性直測量杆系統（一個坐標系 ）。每根杆都是直線段，一條測地線。假設每根杆沿着軌道都是平行移動 ，這些杆是沿着軌跡物理的「攜帶」的事實意味着是「李 拖曳」或傳播，所以沿着切向量每根杆子的李導數 為零。類似於弗萊納標架 上的陀螺，它們可能經受力矩（或扭力）。這個力便由撓率衡量。
更準確地，假設觀察者沿着測地線 γ(t ) 移動，攜帶着一個測量杆。當觀察者移動時，杆子掃過一個曲面。沿着這個曲面有一個自然坐標系 (t ,x )，這裡 t 是由觀察者確定的時間參數，x 是沿着測量杆的長度。測量杆須沿着曲線平行移動的條件為
∇
∂
/
∂
τ
∂
∂
x
|
x
=
0
=
0.
{\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.}
從而，撓率由
T
(
∂
∂
x
,
∂
∂
τ
)
|
x
=
0
=
∇
∂
∂
x
∂
∂
τ
|
x
=
0
.
{\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.}
給出。如果不是零，則杆上標出的這點（點 x = 常曲線）的軌跡為螺旋而不是測地線。它們將繞着觀察者旋轉。
這種撓率的解釋在平行引力 理論中扮演着重要的角色。平行引力理論，也稱為愛因斯坦-嘉當理論 ，是相對論 的一種替代性表述。
在材料科學 中，特別是彈性理論，撓率的想法也扮演着重要的角色。其中一個問題[ 4] 藤 生長的建模，專注於藤如何能繞着對象纏繞。藤自身模型化為一對相互纏繞的彈性纖維。在其能量極小狀態，藤自然生長成一個螺旋狀。但是藤也有可能伸長以達到廣度（或長度）最大化。在此情形，藤的撓率與這對纖維的撓率有關（或等價地，鏈接兩條纖維的帶子的曲面撓率），這反映了藤的長度最大化（測地線）布局與能量最小化布局之間的差異。
在流體力學 中，撓率自然與渦線 相關。
假設 γ(t ) 是 M 上一條曲線。則 γ 是一條仿射參數化測地線 如果
∇
γ
˙
(
t
)
γ
˙
(
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
對屬於 γ的定義域中所有時間 t （這裡點表示關於 t 求導，得到了 γ(t) 處切向量
γ
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
t =0 切向量
γ
˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}
聯絡的撓率的一個運用涉及到聯絡的測地波浪 （geodesic spray ）：粗略地講為所有仿射參數化測地線。
用測地波浪將聯絡分類時，不同撓率不能區分開來：
兩個聯絡 ∇ 與 ∇′ 具有相同的仿射參數化測地線（即相同的測地波浪），只在撓率有區別。[ 5] 更準確地，如果 X 與 Y 是 p ∈ M 的一對切向量，那麼令
Δ
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
~
−
∇
X
′
Y
~
{\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}
是兩個聯絡的差，用 X 與 Y 從 p 處的任意擴張計算。由萊布尼茲乘積法則，我們看出 Δ 事實上與 X 和 Y 如何擴張無關（所以定義了 M 上一個張量）。設 S 與 A 分別為 Δ 的對稱與交替部分：
S
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ
(
X
,
Y
)
+
Δ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ
(
X
,
Y
)
−
Δ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}
則
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
T
(
X
,
Y
)
−
T
′
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}
∇ 與 ∇′ 定義了相同的仿射參數化測地線族當且僅當 S (X ,Y ) = 0。 換句話說，兩個聯絡之差的對稱部分決定了它們是否具有相同的參數化測地線，然而差的斜對稱部分由這兩個聯絡的相對撓率決定。另一個推論是
給定任何仿射聯絡 ∇，存在惟一一個無撓聯絡 ∇′ 具有共同的仿射參數化測地線。 這是黎曼幾何基本定理 到（也許無度量）仿射聯絡的一個推廣。選出從屬於一族參數化測地線惟一的聯絡也稱為撓率的吸收 ，這是嘉當等價方法 的一個使用之處。
^ See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.
^ Goriely et al (2006).
^ See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6. See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980 Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40 : 325–412 [2008-11-06 ] . （原始內容存檔 於2014-04-11）. Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, 41 : 1–25 [2008-11-06 ] . （原始內容存檔 於2014-04-11）. Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, 88 (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871 Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models (PDF) , BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, （原始內容 (PDF) 存檔於2006-12-29） Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry 1 & 2 New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333 Spivak, Michael , A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713
![{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c20ccb17431a4ccc168f73908ab0e3f22a98d4)
![{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3a92b7da3c049f0557f7e1ab6eb8ce5a865244)
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c0bf289e9887d0fe76d18c59dfc55dc368156)
![{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8247e0713e7e599e045a0a5c174d8dc6bd4e81)
![{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaf17a0cb0ae8199e70af6cb354470e89a6f9b6)
