截角七階三角形鑲嵌
在幾何學中，截角七階三角形鑲嵌（英語：Triheptagonal tiling）是一種僅能被構造在雙曲面上的正多邊形鑲嵌，是半正鑲嵌的一種，由正七邊形與正六邊形拼合，並且將正七邊形與正六邊形重複排列組合，並讓圖形完全拼合，而且沒有空隙或重疊的幾何構造。每個頂點皆由兩個正六邊形與一個正七邊形構成，在施萊夫利符號中用t{3,7}表示；此外由於結構類似於足球（僅差在足球的正五邊形改成正七邊形），因此又被稱為雙曲足球（英語：hyperbolic soccerball）[1]。足球是截角二十面體，可以視為五階三角形鑲嵌經截角變換後的像，與截角七階三角形鑲嵌非常類似，但截角二十面體是球面鑲嵌，截角七階三角形鑲嵌是雙曲面鑲嵌。
 龐加萊圓盤模型 | ||
| 類別 | 雙曲半正鑲嵌 | |
|---|---|---|
| 對偶多面體 | 七角化七邊形鑲嵌 | |
| 識別 | ||
| 鮑爾斯縮寫 | thetrat | |
| 數學表示法 | ||
| 考克斯特符號 |     | |
| 施萊夫利符號 | t{3,7} 2t{7,3} | |
| 威佐夫符號 | 2 7 | 3 | |
| 組成與佈局 | ||
| 頂點圖 | 7.6.6 | |
| 對稱性 | ||
| 對稱群 | [7,3], (*732) | |
| 圖像 | ||
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雙曲足球
這個鑲嵌因為形狀類似截角二十面體即俗稱的足球，因此又被稱為雙曲足球（英語：hyperbolic soccerball）。它可以作為在三維空間構造雙曲面的一種方式。
 截角二十面體足球的 多面體和球結構 |
 六邊形鑲嵌 著色成 截角三角形鑲嵌 |
 一個雙曲足球 |
對偶鑲嵌
截角七階三角形鑲嵌的對偶為七角化七邊形鑲嵌， 其為三階七邊形鑲嵌的每一個七邊形從中心點分割為七個三角形。
相關多面體及鑲嵌
此雙曲線鑲嵌的拓撲結構與一系列頂點圖為(n.6.6)且對稱群為[n,3]考克斯特群的半正截角多面體或鑲嵌相關：
| 對稱群 *n42 [n,3] |
球面 | 歐氏鑲嵌 | 緊湊型雙曲鑲嵌 | 仿緊型鑲嵌 | 非緊型鑲嵌 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] D3h |
*332 [3,3] Td |
*432 [4,3] Oh |
*532 [5,3] Ih |
*632 [6,3] P6m |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[iπ/λ,3] | |
| 階 | 12 | 24 | 48 | 120 | ∞ | ||||
| 截角 頂點 |
 2.6.6 |
 3.6.6 |
 4.6.6 |
 5.6.6 |
2.6.6 |
 7.6.6 |
 8.6.6 |
 ∞.6.6 |
 ∞.6.6 |
| 考克斯特紀號 施萊夫利符號 |
    t{3,2} |
t{3,3} |
 t{3,4} |
 t{3,5} |
 t{3,6} |
 t{3,7} |
 t{3,8} |
 t{3,∞} |
 t{3,iπ/λ} |
| 半正對偶頂點 | |||||||||
| n角化 頂點 |
 V2.6.6 |
 V3.6.6 |
 V4.6.6 |
 V5.6.6 |
 V6.6.6 |
 V7.6.6 |
 V8.6.6 |
 V∞.6.6 |
V∞.6.6 |
| 考克斯特紀號 | 
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從威佐夫結構中可得到8種不同的半正鑲嵌
| 對稱群：[7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
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| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
| 半正對偶 | ||||||||||
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| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
參見
參考文獻
- ^ HOW TO BUILD YOUR OWN HYPERBOLIC SOCCER BALL MODEL (PDF). [2014-05-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-08）.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
- 埃里克·韋斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
- 埃里克·韋斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch