截線定理

截線定理（英語：Intercept theorem），是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明，平面上的一個三角形中，若在其中一條腰的中點作一條直線，與其底邊平行，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理和等比定理有密切關係。

定理

截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 $ABC$，作一條直線 $DE$ 與底邊 $AB$ 平行。

截線定理說明，若 $AD=DC$，則 $BE=EC$。

換句話說，$DE$ 是三角形 $ABC$ 的中位線。

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 $FGIH$，其中 $FG\parallel HI$。作一條直線 $JK$ 與上底 $HI$ 和下底 $FG$ 平行。

截線定理說明，若 $FJ=JH$，則 $GK=KI$。

同樣地，$JK$ 是梯形 $FGIH$ 的中位線。

一般化定理

對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形 $ABC$ 中，若 $DE\parallel AB$，則有 ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$。

同樣地，在梯形 $FGIH$，若 $JK\parallel FG\parallel HI$，則有 ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$。

證明

這定理能以相似三角形簡單證明。

考慮上圖的 $\Delta ABC$ 和 $\Delta DEC$。由於

• $\angle ACB=\angle DCE$ （公共角）
• $\angle CAB=\angle CDE$ （平行線的同位角）
• $\angle CBA=\angle CED$ （平行線的同位角）

所以$\Delta ABC\sim \Delta DEC$。（等角）

由此可得 ${\frac {AC}{DC}}={\frac {BC}{EC}}$ 。（相似三角形的對應邊）

因此 ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$。

證畢。

對於梯形的情況，考慮梯形 $FGIH$ ，在 $I$ 上作一直線，與 $FH$ 平行，並與 $JK$ 和 $FG$ 分別相交於 $L$ 和 $M$。

由定義可知，$FMLJ$ 和 $JLIH$ 是平行四邊形。

因此 $FJ=ML$ 及 $JH=LI$。（平行四邊形的對邊）

上面已證明，由 $JK\parallel FG$，可知 ${\frac {ML}{LI}}={\frac {GK}{KI}}$。

代入可得 ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$。

證畢。

參見

• 平面幾何
• 三角形
• 梯形
• 中位線
• 相似三角形
• 中點定理
• 等比定理
• 宇恆定理

參考來源

• Schupp, H. Elementargeometrie. UTB Schöningh. 1977: 124–126. ISBN 3-506-99189-2 （德語）. 
• Leppig, Manfred. Lernstufen Mathematik. Girardet. 1981: 157–170. ISBN 3-7736-2005-5 （德語）. 
• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas. Elementary Geometry. AMS. 2008: 10–13, 16–18 [2018-04-14]. ISBN 0-8218-4347-8. （原始內容存檔於2022-06-01） （英語）. 
• Stillwell, John. The Four Pillars of Geometry. Springer. 2005: 34 [2018-04-14]. ISBN 978-0-387-25530-9. （原始內容存檔於2022-06-01） （英語）. 
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard. Geometry by Its History. Springer. 2012: 3–7 [2018-04-14]. ISBN 978-3-642-29163-0. （原始內容存檔於2022-06-01） （英語）. 

外部連結

• 截線定理（PlanetMath） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Alexander Bogomolny: Thales' Theorems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and in particular Thales' Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Cut-the-Knot