德拜-沃勒因子

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名於彼得·德拜和伊瓦爾·沃勒，在凝聚態物理學中描述的是X射線衍射中由熱運動引起的衰減；又被稱作B因子或者溫度因子。蘭姆-穆斯堡爾因子是德拜-沃勒因子在相干中子散射實驗和穆斯堡爾譜學中的一個推廣。

在散射實驗中，對於散射矢量 $\mathbf {q}$，${\text{DWF}}(\mathbf {q} )$ 給出的是彈性散射的比例；$1-{\text{DWF}}(\mathbf {q} )$ 則是非彈性散射的比例。（嚴格來講，這種概率詮釋不是非常準確。）布拉格衍射實驗中，彈性散射是出現布拉格峰的原因；而非彈性散射產生的是寬廣的背景噪聲，除非分析對象是散射粒子的能量（例如非彈性中子散射或是電子能量損失譜），否則均被視為干擾。因此在一般的衍射實驗中，只有彈性散射是有效信息。這也使得德拜-沃勒因子的計算在衍射實驗中具有重要的意義。

背景

在勞厄完成X射線衍射實驗之前，學術界曾經對此實驗的可行性進行過討論。其中一種觀點認為，在室溫條件下，晶格中的原子由於熱運動，是無法維持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在實際的實驗中不應該觀測到任何的衍射峰（即布拉格峰）。

然而，隨後勞厄和布拉格等人的X射線衍射實驗證實了布拉格峰的存在。實驗中，當晶體的溫度上升時，布拉格峰的強度下降，但其寬度不變。 以下是德拜的描述：

「 我將其總結為，干涉條紋的銳度不受影響，但是他們的強度會不但隨着散射角的增加而下降，而且會隨着溫度的升高而下降。 」

最初的理論

對此實驗現象，德拜給出了最初的理論解釋。給結構因子 $S(\mathbf {q} )$ 中表示原子位置的項 $\mathbf {R} _{j}$ 加上關於時間的微擾項 $\mathbf {u} (t)$，得到修正後的原子位置為 $\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} _{j}+\mathbf {u} (t)$。假設每個原子都相對各自的平衡位置獨立地振動，則對修正後結構因子中的 $f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})$ 一項變為：

$f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle$

修正項 $\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle$ 即為德拜-沃勒因子的最初來源。

定義

德拜-沃勒因子的基本表達式為：

${\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}$

其中的 $\mathbf {u}$ 為熱振動引起的位移，$\left\langle ...\right\rangle$ 表示熱力學平均。

$\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle$ 可被展開為

$1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...$

假設 $\mathbf {u}$ 在空間上具有各向同性，即$\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle =0$，則

$\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...$

注意到上式的前兩項與 $\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )$ 展開式的前兩項是一致的。因此可用 $\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )$ 代換$\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle$，代入開頭的基本表達式：

${\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )$

即

${\text{DWF}}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )$

上式即為德拜-沃勒因子在教科書中常見的定義。值得注意的是上述推導都是在經典物理學的框架之下完成的；而在量子力學中，相同的結論依然成立。

進一步的推導可得

${\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)$

其中 $q$，$u$ 為向量 $\mathbf {q}$，$\mathbf {u}$ 的大小。$\langle u^{2}\rangle$ 叫做均方位移。若入射波的波長為 $\lambda$，且被彈性散射了 $2\theta$ 角度，可用下式計算出 $q$ 的大小：

$q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}$

B因子

在對蛋白質結構的研究中，「B因子（B-factor）」這個名稱更為常用，其定義為

$B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle$

單位為 Ų。B因子可被看作是結構中不同部分的相對振動。低B因子的原子從屬於結構中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般屬於結構中非常柔性易變（flexible）的部分。蛋白質資料庫中的每一ATOM記錄（PDB文件格式）都會包含某特定原子的B因子信息。

參見

• 蘭姆-穆斯堡爾因子