並運算

在數學中，集合上的並（英語：join）可以用兩種方式定義：關於這個集合上的偏序的唯一上確界（最小上界），假定這種上確界存在的話；或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下，這個集合與並運算一起是並半格。兩個定義生成等價的結果，除了偏序方式有可能直接的定義更一般的元素的集合的並之外。最常見到並運算的領域是格。

$x$ 和 $y$ 的並通常被指示為 $x\lor y$ 。

偏序定義

設 A 是帶有偏序 $\leq$ 的一個集合，並設 $x$ 和 $y$ 是 A 中的兩個元素。A 中的一個元素 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的並（或最小上界或上確界），如果滿足下列兩個條件:

1.

x\leq z

且

y\leq z

（就是說，

z

是

x

和

y

的一個上界）

2. 對於 A 中任何

w

，使得

x\leq w

且

y\leq w

，有着

z\leq w

（就是說，

z

小於任何其他

x

和

y

的上界）。

如果 $x$ 和 $y$ 有並，則實際上它是唯一的，因為如果 $z$ 和 $z'$ 都是 $x$ 和 $y$ 的最小上界，則 $z\leq z'\leq z$ ，因此確實 $z=z'\,$ 。如果並存在，它被指示為 $x\lor y$ 。A 中的某些對元素可能缺乏並，要麼因為它們根本就沒有上界，要麼因為它們的上界沒有一個小於所有其他的。如果所有的元素對都有並，則這個並實際上是在 A 上的二元運算，並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對於 A 中任何元素 $x$ , $y$ 和 $z$ 有

a.

x\land y=y\land x

(交換律)，

b.

x\land (y\land z)=(x\land y)\land z

(結合律)，

c.

x\land x=x

(冪等律)。

泛代數定義

通過定義，在集合 A 上的二元運算 $\lor$ 是並，如果它滿足上述三個條件 a, b 和 c。有序對 (A, $\lor$ ) 就是並半格。此外，我們可以定義在 A 上的二元關係 $\leq$ ，通過聲稱 $x\leq y$ 當且僅當 $x\lor y=y$ 。事實上，這個關係是在 A 上的偏序。實際上，對於 A 中任何元素 $x$ , $y$ 和 $z$ 有

x\leq x

，因為

x\lor x=x

，通過公理 c；

如果

x\leq y

且

y\leq x

，則

y=x\lor y=y\lor x=x

，通過公理 a；

如果

x\leq y

且

y\leq z

，則

x\leq z

，因為

x\lor z=x\lor (y\lor z)=(x\lor y)\lor z=y\lor z=z

，通過公理 b。

兩個定義的等價性

如果 (A, $\leq$ ) 是偏序集合，使得 A 中每對元素都有並，則確實 $x\lor y=y$ 當且僅當 $x\leq y$ ，因為在後者情況下 $y$ 的確是 $x$ 和 $y$ 的上界，並且因為明顯的 $y$ 是最小上界當且僅當它是上界。因此，以泛代數方式的並定義的偏序一致於最初的偏序。

反過來說，如果 (A, $\lor$ ) 是並半格，並用泛代數的方式定義偏序 $\leq$ ，對於 A 中某些元素 $x$ 和 $y$ 有 $z=x\lor y$ ，則 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 關於 $\leq$ 的最小上界，因為 $x\lor z=(x\lor x)\lor y=z\;\Rightarrow \;x\leq z$ ，類似的 $y\leq z$ ，並且如果 $w$ 是 $x$ 和 $y$ 的另一個上界，則 $x\lor w=y\lor w=w$ ，因而 $z\lor w=(x\lor y)\lor w=x\lor (y\lor w)=x\lor w=w$ 。所以最初的並定義的偏序定義的並一致於最初的並。

換句話說，這兩種方式生成本質上等價的概念，集合配備了二元關係和二元運算二者，使得每個結構都有另一個確定，而且分別滿足關於偏序或並的那些條件。

一般子集的並

如果 (A, $\lor$ ) 是並半格，則並可以被擴展為任何非空有限集合的良好定義的並，通過在迭代二元運算中描述的技術。可作為替代的，並定義或定義自偏序，A 的某個子集的確有關於它的上確界。對於非空有限子集，這兩種方式生成同樣的結果，因此任何一個都可以作為並的定義。在 A 的每個子集都有並的情況下，實際上 (A, $\leq$ ) 是完全格；詳情請參見完全性 (序理論)。