平方根
在數學中,一個數的平方根指的是滿足的數,即平方結果等於的數。例如,4和-4都是16的平方根,因為。
任意非負實數都有唯一的非負平方根,稱為算術平方根或算術平方根(英語:principal square root),記為,其中的符號稱作根號。例如,9的算術平方根為3,記作 ,因為並且3非負。被求平方根的數稱作被開方數(英語:radicand),是根號下的數字或者表達式,即例子中的數字9。
正數有兩個互為相反數的平方根:正數與負數,可以將兩者一起記為。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其「平方根」(例如矩陣的平方根)。
- 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。
歷史
耶魯大學的巴比倫藏品YBC 7289是一塊泥板,製作於前1800年到前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形,標註了 的六十進制數字 1;24,51,10。[1]六十進制的 1;24,51,10 即十進制的 1.41421296,精確到了小數點後5位(1.41421356...)。
萊因德數學紙草書大約成書於前1650年,內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。[2]
古印度的《繩法經》大約成書於前800年到前500年之間,書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。
古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年,書中還闡述了如果正整數不是完全平方數,那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個整數的比值表示的數(無法寫作m/n,其中m和n是整數)。[3]
中國的《書》成書於漢朝(約前202年到前186年之間),書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母「L」被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的(即「⎷‾」),因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫),從而形成了現在人們熟知的開方運算符號 。
正數
的平方根亦可用指數表示,如:
的絕對值可用 的算數平方根表示:
若正整數 是平方數,則其平方根是整數。若正整數 不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數 、 ,以下式成立:
負數與複數
正數和負數的平方都是正數,0的平方是0,因此負數沒有實數平方根。然而,我們可以把我們所使用的數字集合擴大,加入負數的平方根,這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字,記作 (也可以記作 ,比如電學場景中 一般表示電流),稱之為虛數單位,定義即為 ,故 是-1的平方根,而且 ,所以 也是-1的平方根。通常稱-1的算術平方根是 ,如果 是任意非負實數,則 的算術平方根就是:
例如-5的平方根有兩個,它們分別為 和 。
之所以等式右側(包括其對應的負值)是 的算術平方根,是因為:
對於負數 、 ,以下式成立:
虛數的算術平方根
虛數 的算術平方根可以根據以下公式計算:
這個公式可以通過用代數方法推導,只需找到特定的實數 和 ,滿足
就可以得到方程組
的解:
其中,算術平方根即為
這個公式還可以通過棣莫弗公式得到,設
就可以推出
複數的算術平方根
對於任何一個非零的複數 都存在兩個複數 使得 。
首先,我們將複數 看作是平面上的點,即笛卡爾坐標系中的 點。這個點也可以寫作極坐標的 ,其中 ,是該點到坐標原點的距離, 則是從原點到該點的直線與實數坐標軸( 軸)的夾角。複分析中,通常把該點記作 。如果
那麼我們將 的算術平方根定義為:
因此,平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。 的泰勒級數也適用於複數 。
上面的公式還可以用三角函數的形式表達:
代數公式
如果使用笛卡爾坐標的形式表達複數 z,其算術平方根可以使用如下公式:[4][5]
其中,方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同(為0時取正);主值實部永遠非負。
在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:
所以這是錯誤的:
多項式
例:若 ,
2的算術平方根
數學史中,最重要的平方根可以說是 ,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫畢達哥拉斯常數,其值到小數點14位約為1.4142135623731。
是無理數,可由歸謬法證明:
計算方法
因數計算
。
注意,6 的質因數分解為 2 × 3,不能寫成某個數的平方,因此 就是最簡結果 。
中算開方
《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法、增乘開平方法;明代數學家王素文,程大位發明珠算開平方法,而朱載堉《算學新說》首創用81位算盤開方,精確到25位數字[6]。
長除式算法
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是 。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以 為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下:
1 | ||
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 | ||
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 | ||
2 | ||
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 | ||
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 | ||
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 | ||
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 | ||
3 | ||
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 | ||
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 | ||
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 | ||
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 | ||
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 | ||
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 | ||
4 | ||
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 | ||
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 | ||
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 | ||
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 |
牛頓法
如果要求 的平方根,選取
例子:求 至6位有效數字。
因此 .
平方根可以簡便地用連分數的形式表示,關於連分數請見連分數,其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為:
連分數部分均循環,省略號前為2或4個循環節。
巴比倫方法
巴比倫求平方根的算法實際上很簡單:(假設要求一個數N的平方根)
- 預測一個平方根 ,初始另一個值 ,且
- 求預測值與初始值的均值: ,
- 比較 和 的差值是否達到精度,如果無,繼續步驟
重複的算術運算
這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
問題
給定線段AB和1,求一條長為 的線段。
解法
- 畫線AB,延長BA至C使
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
證明
將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- O=
- AB=
- 直徑為BC的圓就是 (圓的方程式: )(其中 表示半徑。)
- 將 (A,D所在的x座標)代入上面的方程式
- 解方程,得 。
另也可參見射影定理。
參見
外部連結
參考資料
- ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始內容存檔於2020-03-12).
- ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
- ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始內容存檔於2016-04-23)., Section 3.7.27, p. 17 網際網路檔案館的存檔,存檔日期2009-09-10.
- ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始內容存檔於2016-04-23).
- ^ 勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7-5375-1891-2/O