局部可積函數

數學中,局部可積函數是指在定義域內的所有緊集上都可積函數

常見定義

 為歐幾里得空間 中的一個開集。設 是一個勒貝格可測函數。如果函數 在任意緊集 上的勒貝格積分都存在:

 

那麼就稱函數 為一個 -局部可積的函數[1]。所有在 上局部可積的函數的集合一般記為 

 可測 

其中  包含的所有的緊集的集合。

一般測度空間

對於更一般的測度空間 ,也可以類似地定義其上的局部可積函數[2]

性質

  • 所有 上的連續函數與可積函數都是 -局部可積的函數。如果 是有界的,那麼 上的L2函數也是 -局部可積的函數[3]
  • 局部可積函數都是幾乎處處有界的函數 ,也可以類似地定義其上的局部可積函數[4]
  • 複數值的函數 是局部可積函數,當且僅當其實部函數  與虛部函數  都是局部可積函數。實數值的函數 是局部可積函數,當且僅當其正部函數  與負部函數  都是局部可積函數[4]

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參考來源

  1. ^ Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis. Springer. 1999年. ISBN 978-0387985244 (英語). 第268頁
  2. ^ Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976年 (英語). 第181頁
  3. ^ John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis. World Scientific Publishing Co., Inc. 1994年6月. ISBN 978-981-02-0737-3 (英語). 第25頁
  4. ^ 4.0 4.1 Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis第2卷. Academic Press. 1976 (英語). 第180頁