外積 (張量積)

關於其他常稱作外積的相關二元運算，參閱外積。

外積（英語：outer product），在線性代數中一般指兩個向量的張量積，其結果為一矩陣；與外積相對，兩向量的內積結果為純量。

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩陣乘法定義

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定$m\times 1$ 列向量$\mathbf {u}$和$1\times n$ 行向量$\mathbf {v}$，它們的外積$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$被定義為$m\times n$矩陣$\mathbf {A}$，結果出自

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v}$

這裡的張量積就是向量的乘法。

使用坐標：

${\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}$

對於複數向量，習慣使用$\mathbf {v}$的復共軛(指示為${\bar {\mathbf {v} }}$)，因為人們把行向量認為是對偶空間的復共軛向量空間的元素：

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} {\bar {\mathbf {v} }}$

如果$\mathbf {v}$是列向量，定義變為：

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}$

這裡的$\mathbf {v} ^{*}$是$\mathbf {v}$的共軛轉置。

相對於外積

如果$\mathbf {v}$是列向量，而且m = n，則可以採用其他方式的積，生成一個標量(或$1\times 1$矩陣):

$\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \right\rangle =\mathbf {v} \mathbf {u}$

它是歐幾里得空間的標準內積，常叫做點積。

抽象定義

給定向量$v\in V$和余向量$w^{*}\in W^{*}$，張量積$v\otimes w^{*}$給出映射$A\colon W\to V$，在同構$\mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V$之下。

具體的說，給定$w\in W$，

$A(w):=w^{*}(w)v$

這裡的$w^{*}(w)$是$w^{*}$在w上的求值，它生成一個標量，接着乘v。

可作為替代，它是$w^{*}\colon W\to K$與$v\colon K\to V$的複合。

如果$W=V$，則還可以配對$w^{*}(v)$，這是內積。

參見

• 內積
• 叉積
• 張量積