複合函數

複合函數（英語：Function composition），又稱作合成函數，在數學中是指逐點地把一個函數作用於另一個函數的結果，所得到的第三個函數。例如，函數 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ 可以複合，得到從 $X$ 中的 $x$ 映射到 $Z$ 中 $g (f (x))$ 的函數。直觀來說，如果 $z$ 是 $y$ 的函數， $y$ 是 $x$ 的函數，那麼 $z$ 是 $x$ 的函數。得到的複合函數記作 $g \circ f : X \to Z$ ，定義為對 $X$ 中的所有 $x$ ， $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ 。^{[note 1]} 直觀地說，複合兩個函數是把兩個函數鏈接在一起的過程，內函數的輸出就是外函數的輸入。

函數的複合是關係複合的一個特例，因此複合關係的所有性質也適用於函數的複合。^[1] 複合函數還有一些其他性質。

定義

考慮到函數的值域跟定義域，要簡單的以「計算式」，如把所有 $(x,\,x+1)$ 和 $(y,\,{\sqrt {y}})$ 的有序對頭接尾的這樣直觀定義「合成」是會遇到問題的，像是把 $x$ 取為實數，這樣把 $x+1$ 很自然的對接到 $y$ 然後開根號成 ${\sqrt {y}}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的「合成函數」的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備「合成」的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

如果我們有兩個函數 $f$ 和 $g$ ，而兩者的定義域分別是 $D_{f}$ 和 $D_{g}$ ；值域分別是 $I_{f}$ 和 $I_{g}$ 。如果 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing$ ，那我們定義合成函數為

g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}

直觀上來說，如果 $f$ 的「輸出範圍」是有一部分在 $g$ 的「輸入範圍」，那我們就可以定義「先作用 $f$ 再作用 $g$ 」的函數，但這個「新合成」的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 $x$ 而已）。注意到每個 $x$ 只會有一個輸出值 $y$ ，而每個 $y$ 只會有一個輸出值 $z$ ，所以這樣「先作用 $f$ 再作用 $g$ 」的話，每個 $x$ 只會有一個輸出值 $z$ 而已，這確保了 $g\circ f$ 符合我們對函數的要求。

絕對值函數與三次函數，兩個實函數以不同的次序複合。這表明了函數複合不遵守交換律

當 $g\circ f=f\circ g$ 時（注意這是集合的相等！），我們會說 $g$ 和 $f$ 是可交換的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可導函數的複合函數的導數，可以用鏈式法則求得。Faà di Bruno公式給出了複合函數的高階導數的表達式。

例子

g \circ f

，

f

與

g

的複合。例如，

(g \circ f)(c) = #

.

兩個函數複合的具體例子

有限集上的函數複合：若 $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ ， $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ ，則 $g \circ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ .
無限集上的函數複合：若 $f : ℝ \to ℝ$ （其中 $ℝ$ 是所有實數的集合）表達式為 $f (x) = 2 x + 4$ ，而 $g : ℝ \to ℝ$ 表達式為 $g (x) = x 3$ ，則：

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

，且

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

如果一架飛機在 $t$ 時刻的海拔為 $h (t)$ ，而海拔 $x$ 處的氧氣濃度為 $c (x)$ ，那麼 $(c \circ h)(t)$ 描述了 $t$ 時刻飛機周圍的氧氣濃度。

複合幺半群

假設我們有兩個（或多個）函數 $f : X \to X,$ $g : X \to X$ ，定義域與到達域相同；這些函數一般稱作變換。於是，我們可以構造多個變換複合而成的鏈，比如 $f \circ f \circ g \circ f$ 。這種鏈具有幺半群的代數結構，稱作變換幺半群或者複合幺半群。通常，變換幺半群可以具有非常複雜的結構。一個很有名的例子是德拉姆曲線。所有函數 $f : X \to X$ 的集合稱作 $X$ 上的全變換半群^[2]或對稱半群^[3]。（我們其實可以定義兩個半群，這取決於定義半群運算為函數左複合和右複合的方式。^[4]）

把△EFA變換為△ATB的相似性是位似

H

和以

S

為中心的旋轉

R

的複合。例如，

A

在旋轉R下的像是

U

，可以寫作

R

(A) = U。而

H

(U) = B 表示映射

H

把

U

變換到了

B

。因此，

H (R

(A)) =

(H \circ R)

(A) = B。

如果變換是雙射（也就可逆），則這些函數所有可能的組合就構成了一個變換群；可以說這個群是由這些函數生成的。這就引出了群論裡面的凱萊定理從本質上表明，（在同構意義下）任何群都是某一置換群的子群。^[5]

所有雙射函數 $f : X \to X$ （稱作置換）的集合構成了一個關於複合算子的群。這就是對稱群，有時稱作複合群。

在（所有變換的）對稱半群中，我們還可以發現一個較弱的、非唯一的逆變換（稱作偽逆），因為對稱子群是一個正則半群。^[6]

函數冪

如果 $Y \subseteq X$ ，則 $f : X \to Y$ 有可能可以與自身複合；這有時候記作 $f 2$ 。即：

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

更一般地，對於 $n \geq 2$ 的自然數， $n$ 次函數冪可以歸納定義為 $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . 這種函數與自身的反覆複合稱作迭代函數。

習慣上， $f 0$ 定義為 $f$ 定義域上的恆同映射， $id X$ .
如果 $Y = X$ ，而 $f : X \to X$ 存在反函數 $f -1$ ，那麼對於 $n > 0$ ，負函數冪 $f - n$ 定義為反函數的冪： $f - n = (f -1) n$ .

注意：若 $f$ 在一個環內取值（特別是對於實值或復值 $f$ ），存在混淆的風險，因為 $f n$ 也可以表示 $f$ 的 $n$ 次乘積，比如 $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . 對於三角函數，通常會使用後者的含義，至少對於正指數是這樣。例如，在三角學中，使用三角函數 $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ 的時候，這個上標記號表示標準的指數運算。不過，對於負指數（特別是 −1），則通常指的是反函數，例如， $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

在一些情況下，對於給定函數 $f$ ，方程 $g \circ g = f$ 只有一個解 $g$ 的時候，該函數可以定義為 $f$ 的函數平方根，記作 $g = f 1/2$ .

更一般地，當 $g n = f$ 只有唯一解時（自然數 $n > 0$ ）， $f m / n$ 可以定義為 $g m$ .

在額外的限制下，這個想法還可以推廣，使得迭代函數可以是一個連續的參數；在此情形下，這樣的系統稱作流，由施羅德方程定義。迭代函數和流很自然地出現在分形和動力系統的研究中。

為避免混淆，有些數學家把 $f$ 的 n 次迭代寫作 $f ° n$ .

其他記法

許多數學家，特別是群論方面的數學家，省去複合符號，把 $g \circ f$ 寫作 $gf$ .^[7]

在20世紀中葉，一些數學家認為用「 $g \circ f$ 」來表示「首先施加 $f$ ，然後施加 $g$ 」太令人困惑，於是決定改變記法。他們用「 $xf$ 」來代表「 $f (x)$ 」，用「 $(xf) g$ 」來代表「 $g (f (x))$ 」。^[8] 這在某些領域會比函數寫在左面更加自然和簡便—比如在線性代數中，當 $x$ 為行向量， $f$ 和 $g$ 表示矩陣，而複合是通過矩陣乘法完成的時候。這種替代記法稱作後綴表示法。順序很重要，因為函數複合不一定是可交換的（比如矩陣乘法）。向右進行施加函數和複合的寫法複合從左到右的閱讀順序。

使用後綴表示法的數學家可能會寫「 $fg$ 」，表示先施加 $f$ 再施加 $g$ ，這樣就能與後綴表示法中的符號的順序保持一致，不過這就會讓「 $fg$ 」這個記號有歧義了。計算機科學家可能用 $f; g$ 來表示 [1] ，這樣就能區分出複合的順序了。要把左複合算子和文本分好區分開來，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用於左關係複合。^[9] 由於所有函數都是二元關係，在函數複合中也應該用[粗]分號（參見關係複合條目了解此記法的詳細內容）。

複合算子

給定函數 $g$ ，複合算子 $C g$ 定義為使得

C_{g}f=f\circ g.

的從函數映射到函數的算子。在算子理論領域會研究複合算子。

多元函數

對於多元函數來說，部分複合是有可能的。當函數 $f$ 的部分參數 $x i$ 由 $g$ 換掉後得到的結果在一些計算機工程文獻中，記作 $f | x i = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

當 $g$ 是一個常數 $b$ 時，複合退化為一個（部分）求值，其結果就會是限制或者輔因子。^[10]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

通常，多元函數的複合可能涉及若干其他函數作為參數，如原始遞歸函數的定義。給定 $f$ ，一個 $n$ 元函數， $n$ 個 $m$ 元函數 $g 1, ..., g n$ ， $f$ 與 $g 1, ..., g n$ 的複合是 $m$ 元函數

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

這有時稱作 f 與 $g 1, ..., g n$ 的廣義複合。^[11] 在這個一般化的情形中，可以通過把所有這些用作參數的函數合適地選為射影函數，只保留一個參數函數，就能得到前面提到的只有一個參數部分複合的函數。還要注意，在這個一般化情形中， $g 1, ..., g n$ 可以看作是單個向量或元組值函數，這樣理解的話，這就是複合函數的標準定義。^[12]

某些基本集 X 上的一些有限性運算稱作克隆，它們需要包含所有射影，並且在廣義複合下封閉。請注意，克隆通常包含各種元數（arity）的運算。^[11] 交換的概念在多元情形中葉有一個有意思的推廣：如果元數 n的函數 f 是保持 g 的同態函數（g 的元數為 m），則可以說 f與 g 是可交換的，反之亦然。例如：^[13]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

一元運算總是與自己可交換，但二元（或者更多元）運算不一定如此。與自身可交換的二元（或更多元）運算稱為medial或entropic。^[13]

推廣

複合可以推廣到任意二元關係。若 $R \subseteq X \times Y$ 與 $S \subseteq Y \times Z$ 是兩個二元關係，則它們的複合 $S \circ R$ 是定義為 ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . 考慮二元關係的一個特殊情形（函數關係），複合函數滿足關係複合的定義。

偏函數的複合可是用相同方式定義的定義，有一個類似凱萊定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。^[14]

具有態射函數的集合範疇叫做原型範疇（prototypical category）。範疇的公理實際上受到了複合函數的性質（和定義）啟發。^[15] 由複合形成的結構在範疇論中被公理化和推廣，函數的概念換成了範疇論中的態射。公式 $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ 中的反序複合，同樣適用於使用逆關係的關係複合，因此在群論中也適用。這些結構形成了dagger範疇。

排版

複合算子 $\circ$ 編碼為U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。參見Degree symbol條目中外觀類似的Unicode字符。在TeX中，寫作\circ。

參見

組合子邏輯
函數分解（英語：Functional decomposition）
迭代函數
解析函數的無限複合（英語：Infinite compositions of analytic functions）
流
高階函數
蛛網圖（英語：Cobweb plot），函數複合的圖形方法
Λ演算
函數平方根（英語：Functional square root）
複合環（英語：Composition ring），複合運算的形式公理化
隨機變量函數

注釋

^ 有些作者使用 $f \circ g : X \to Z$ ，定義為 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

參考文獻

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外部連結

Hazewinkel, Michiel (編), Composite function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
"Composition of Functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[1] 有些作者使用 $f \circ g : X \to Z$ ，定義為 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

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[3] Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

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[10] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

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[15] S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv

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