葉戈羅夫定理

測度論中,葉戈羅夫定理確立了一個可測函數逐點收斂序列一致連續的條件。這個定理以俄國物理學家和幾何學家德米特里·葉戈羅夫命名,他在1911年出版了該定理。

葉戈羅夫定理與緊支撐連續函數在一起,可以用來證明可積函數盧津定理

定理的陳述

設(M,d)為一個可分度量空間(例如實數,度量為通常的距離d(a,b) = |a − b|)。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函數的序列(fn),以及一個有限μ-測度的可測子集A,使得(fn)在A上μ-幾乎處處收斂於極限函數f,那麼以下結果成立:對於每一個ε > 0,都存在A的一個可測子集B,使得μ(B) < ε,且(fn)在相對補集A \ B上一致收斂於f

在這裡,μ(B)表示B的μ-測度。該定理說明,在A上幾乎處處逐點收斂,意味着除了在任意小測度的某個子集B外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

假設的討論

注意μ(A) < ∞的假設是必要的。在勒貝格測度下,考慮定義在實直線上的實值指示函數的序列:

 

這個序列處處逐點收斂於零函數,但對於任何有限測度的集合B,它在R \ B上不一致收斂。

度量空間的可分性是需要的,以保證對於M-值可測函數fg,距離d(f(x), g(x))也是x的可測實值函數。

證明

對於實數nk,定義集合En,k為以下併集

 

n增加時這些集合逐漸變小,意味着En+1,k總是En,k的子集,因為第一個併集包含了較少的集合。一個點x,使得序列(fm(x))收斂於f(x),不能位於每一個En,k中(對於固定的k),因為fm(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設,對於每一個固定的k,有:

 

由於A的測度是有限的,我們便可從上面推出連續性;因此對於每一個k,都存在某個自然數nk,使得:

 

對於這個集合中的x,我們認為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義

 

A中所有點x的集合,使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此,在集合差A \ B上,我們便得出一致收斂。

根據μ的σ可加性,並利用幾何級數,我們便得到:

 

參考文獻

  1. Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
  2. Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.
  3. Eric W. Weisstein et al. (2005). Egorov's Theorem頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). 於2005年4月19日訪問。