反函數

对一个定函数做逆运算的函数

數學裡,反函數,也稱為逆函數(英語:Inverse function),為對一個定函數做逆運算的函數

函數ƒ和它的反函數ƒ–1。由於ƒ把a映射到3,因此反函數ƒ–1把3映射回到a

定義與存在性

 為一函數,其定義域 陪域 。如果存在一函數 ,其定義域和陪域分別為 ,並對任意  、對任意  ,則稱  的反函數,記之為 [註 1]

若一函數有反函數,便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要條件是該函數為雙射,即同時為單射滿射[1]

 為一實函數,還可通過水平線測試判斷其是否為單射、滿射或雙射。

與限制的關係

一部分函數儘管本身不可逆,但它到其定義域的某個子集上的限制是可逆的。[2]例如

 

 並不是單射,因  均為 。但若取其到 上的限制,則這一限制為雙射,並擁有反函數

 

反三角函數是限制定義域的另一個例子。正弦餘弦三角函數具有周期性,如

 

這意味着其並非單射。若要定義三角函數的反函數,則需要限定其定義域,如反正弦函數通常定義為正弦函數到 上的限制的反函數。這一經過限制的定義域亦是反正弦函數的值域,稱作其主值英語Principal value

性質

  • 原函數的定義域、值域分別是反函數的值域、定義域。
  • 原函數與其反函數的函數圖像關於函數 的圖像對稱。
  • 嚴格單調函數一定存在反函數,且反函數與原函數的單調性一致。
  • 擁有反函數的函數不一定是嚴格單調函數,例如 

注釋

  1. ^ 此種寫法易與一個數的 混淆,尤其在三角函數中, 表示 平方,但 表示反正弦 處的值,而非 

參考資料

  1. ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始內容存檔於2023-12-29). 
  2. ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4. 

另見