單群

群論
	;
	群
基本概念
	子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和; 單群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積
離散群
	有限單群分類 ; 循環群 Zn ; 交錯群 An ; 李型群; 散在群; 馬蒂厄群 M11..12,M22..24; 康威群 Co1..3 ; 揚科群 J1..4 ; 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24; 子魔群（英語：sub monster group） B; 魔群 M; 其他有限群; 對稱群, Sn; 二面體群, Dn; 無限群; 整數, Z; 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z);
連續群
	李群; 一般線性群 GL(n); 特殊線性群 SL(n); 正交群 O(n); 特殊正交群 SO(n); 酉群 U(n); 特殊酉群 SU(n); 辛群 Sp(n); G2 F4 E6 E7 E8; 勞侖茲群; 龐加萊群;
無限維群
	共形群; 微分同胚群 ; 環路群 ; 量子群 ; O(∞) SU(∞) Sp(∞);
代數群
	橢圓曲線; 線性代數群（英語：Linear algebraic group）; 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
	閱; 論; 編;

數學上的單群（英語：Simple group）是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單群，都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群，若爾當-赫爾德定理表明，這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列（最多相差一個置換）。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。

定義

設 $(G,*)$ 為群，如果其內的正規子群只有 $G$ 本身與單位元 $e$ 組成的群（平凡群） $\{e\}$ ，則稱之為單群。

例子

有限單群

循環群 $G$ = Z/3Z，即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單群。這是因為，若 $H$ 是這個群的一個子群，則它的階一定是群 $G$ 的階3的約數，因為3是素數，所以 $H$ 只能是 $G$ 或者平凡群。另一方面，群 $G$ =Z/12Z就不是單群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群，且12為合數，故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如，由模12餘0，4，8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地，整數集 Z 與加法運算組成的群也不是單群，由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群^[1]。

按照上面的方法可以證明，阿貝爾單群只有素數階循環群。最小的非阿貝爾單群是交錯群 $A_{5}$ ，它的階是60，而且可以證明每一個階為60的單群都與 $A_{5}$ 同構^[2]。第二小的非阿貝爾單群是射影特殊線性群 $\mathrm {PSL} (2,7)$ ，它的階是168。可以證明，階為168的單群都與 $\mathrm {PSL} (2,7)$ 同構^[3]^[4]。

$\mathrm {PSL} (2,7)$ 是有限域上的典型群的一個例子，它也是一個有限階李群。除了素數階循環群、交錯群和有限階李群（包括典型群和例外或纏繞李群）之外的有限單群統稱為散在群，詳見有限單群分類。

無限階單群

無限階交錯群，即由整數的所有偶置換組成的群 $A_{\infty }$ 是單群。另一個無限階單群的例子是域 $F$ 上的射影特殊線性群 $\mathrm {PSL} _{n}(F)$ ，其中 $n\geq 3$ 。

相比之下，要構造有限生成的無限階單群就困難得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼（英語：Graham Higman）提出，它是希格曼群（英語：Higman group）的子群^[5]。其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表現無撓(torsion-free)的無限單群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。^[6]

分類

到目前為止，未有對一般單群進行分類的方法。

有限單群

有限單群是很重要的，因為在一定意義上，它們是所有有限群的「基本組成部分」，有點類似於質數是整數的基本組成部分。

有限單群的結構

法伊特-湯普森定理聲稱，所有的奇數階群都是可解群。因此，除素數階循環群外，所有有限單群的階都是偶數。

群的非單性判據

西羅測試：設 $n$ 為一正合數， $p$ 是它的一個素因子。若在 $n$ 的所有約數中只有 1 模 $p$ 同餘於 1，則不存在階為 $n$ 的單群。

證明：如 $n$ 為一素數冪，則階數為 $n$ 的群有非平凡的中心^[7]，因而不是單群。若 $n$ 不是素數冪，則階數為 $n$ 的群的每一個西羅子群都是真子群，由西羅第三定理可知，階數為 $n$ 的群的西羅 $p$ -子群的個數模 $p$ 同餘於1且為 $n$ 的約數。但由上面的假設，這樣的數只有1，這表明該群只有一個西羅 $p$ -子群，因此，根據西羅定理，該西羅子群是正規子群。根據上面的討論，它又是一個真子群，從而它是階數為 $n$ 的群的一個非平凡正規子群，所以階數為 $n$ 的群不是單群。

另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射，因為對於一個群 $G$ 而言，其子群 $H$ 是正規子群，當且僅當 $H$ 是某個關於 $G$ 的同態映射的核。

重要性

「單群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 $H$ 可以對將 $G$ 的一部分研究化約為對商群 $G/H$ 與 $H$ 的研究，而對單群無法行此化約。

有限單群之於有限群論，一如素數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。

參閱

特徵單群（英語：Characteristically simple group）
准單群（英語：Quasisimple group）
有限單群列表（英語：List of finite simple groups）

參考文獻

^ Knapp (2006), p. 170
^ Rotman (1995), p. 226
^ Rotman (1995), p. 281
^ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
^ Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59
^ M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.
^ 例如，參見P-群里的證明

教科書

Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9
Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8
Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8

外部連結

simplicity of the alternating groups. PlanetMath.

[1] Knapp (2006), p. 170

[2] Rotman (1995), p. 226

[3] Rotman (1995), p. 281

[4] Smith & Tabachnikova (2000), p. 144

[5] Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59

[6] M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.

[7] 例如，參見P-群里的證明

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