單值性

绕着奇点旋转时的行为

數學中,單值性(monodromy)研究的是數學分析代數拓撲代數幾何微分幾何中的對象在「繞着奇點旋轉」時的行為。這個領域同覆疊映射及其到分歧的退化密切相關。引發單值現象的方面是,我們想定義一個繞奇點旋轉時不保持單值性的函數。可以定義單值群來測量單值性的失效,這是一作用於數據的變換,編碼了在單一維度上繞行時發生的情況。單值性的缺乏,有時稱作多值性(polydromy)。[1]

複對數的虛部。在上定義複對數,會沿不同路徑得到不同答案。這就產生了無限循環單值群,以及螺旋曲面黎曼曲面之一)覆蓋。

定義

X是連通且底局部連通拓撲空間,基點為x,並令 覆疊映射,其纖維 。對以x為基的環圈 ,記從點 開始的覆疊映射下的提升 。最後,用 表示端點 ,一半與 不同。有定理指出,這種構造給出了基本群 F上的良定義的群作用 穩定子恰是 ,即當且僅當元素  中以 為基的環圈的像表示時,才會固定F中的一個點。這種作用叫做單值作用,對應的群同態 映射到F上的自同構群,就是代數單值性。這同態的像就是單值群。還有一個映射 ,其像是拓撲單值群

例子

這些觀點首次明確闡述是用複分析的語言。在解析延拓的過程中,在穿孔複平面 的某開子集E中的解析函數 可連續映射回E,但值不同。例如,取

 

然後逆時針繞圓

 

進行解析延拓,將導致返回的不是 而是

 

這時,單值群是無限循環群,覆疊空間是穿孔複平面的萬有覆疊,可以形象理解為螺旋曲面,並有 的約束。覆疊映射是一個垂直投影,從某種意義上說顯然地摺疊了螺旋,得到穿孔平面。

複數域微分方程

一個重要應用是解微分方程,當中單解可通過解析延拓得到更多線性獨立解。複平面中開連通集S上定義的線性微分方程擁有單值群,更精確地說是S基本群線性表示,概括了S中所有環圈的解析延拓。在給定表示的情況下構造方程(具有正則奇點)的逆問題稱作黎曼–希爾伯特問題

對於正則(特別是富克斯)線性系統,常常選擇與環圈相應的算子 作為單值群的生成子,當中每個環圈逆時針繞過系統的一個極點。若指標j在順時針繞過極點時從1增加到p+1,則生成子之間的唯一關係是 。德利涅–辛普森問題是以下實現問題:對 中的哪些共軛類元組,存在來自這些類的滿足上式的矩陣 的不可約元組?皮埃爾·德利涅與卡洛斯·辛普森第一個得到了問題的解。Vladimir Kostov提出並討論了富克斯系統殘差問題的加性版本。除了 外,其他學者也考慮過在矩陣群上的問題。[2]

拓撲與幾何角度

在覆疊映射的情形下,我們將其視為纖維化的特例,並利用同倫提升特性「追蹤」基空間X上的路徑(簡單起見假定其是徑連通的),因為它們可提升到覆疊C中。若沿着X中以x為基的環圈繞行,並將其提升到x上方的c處開始,則將在x上方的某個c*處結束。c ≠ c*完全是可能的,為編碼這種情況,可將基本群 的作用視為所有c的集合上的置換群,此時就是單值群。

微分幾何中,平行移動起類似作用。在光滑流形M上的主叢B中,聯絡允許從M上的m之上的纖維「水平」移動到相鄰的纖維。當應用於以m為基的環圈時,其效果是定義了m處纖維平移的完整群;若B的結構群是G,則它就是G的一個子群,衡量了B與積叢 的偏差。

單值廣群與葉狀結構

 
在總空間中有提升基中路徑的路徑。沿着這些路徑推進,就能得到基本廣群的單值作用。

基本廣群類似,可以繞過基點的選擇,定義單值廣群。此處考慮纖維化 的基空間X中的路徑的提升(的同倫類),結果具有基空間X上的廣群結構。這樣做的好處是,我們可以放棄X的連通性條件。

此外,這個構造還可推廣到葉狀結構:考慮 M的(可能奇異的)葉狀結構。則對於 的葉中的每條路徑,都可考慮其在過端點的局部橫截面上的誘導微分同胚。若回到端點周圍的微分同胚的,則前述微分同胚在單連通坐標圖中是唯一的,尤其是在不同橫截面之間。這樣,在單連通坐標圖中,它也變得與路徑(固定端點間)無關,因此在同倫下不變。

伽羅瓦理論定義

 為變量xF上的有理函數域,F也是多項式環 分式域。元素 決定了一個有限域擴張 

這個擴張一般不是伽羅瓦的,但有伽羅瓦閉包 。擴張 的相關伽羅瓦群稱作f的單值群。

 的情形下,黎曼曲面理論允許上述幾何解釋。擴張 已經伽羅瓦的情形下,相關單值群有時被稱作甲板變換群(deck transformation)。

這與導致黎曼存在定理復疊空間伽羅瓦理論有關。

另見

注釋

  1. ^ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work. Springer-Verlag. 2015: 200–201 [2017-10-05]. ISBN 9783658106195 (德語). 
  2. ^ V. P. Kostov, The Deligne–Simpson problem — a survey, J. Algebra, 2004, 281 (1): 83–108, MR 2091962, S2CID 119634752, arXiv:math/0206298 , doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013  and the references therein.

參考文獻