衝激不變法

衝激不變法是利用連續時間濾波器來設計離散時間無限衝激響應（IIR）濾波器的一種方法，這種方法中對連續時間系統的衝激響應進行採樣以產生離散時間系統的衝激響應。離散時間系統的頻率響應就會是連續時間系統的頻率響應的位移後的拷貝之和；如果連續時間系統的頻帶大致限制在小於採樣的奈奎斯特頻率的範圍內，則離散時間系統的頻率響應會大致與連續系統的頻帶相同，低於奈奎斯特頻率。

討論

以 $T$ 為採樣周期對連續時間系統的衝激響應 $h_{c}(t)$ 採樣得到了離散時間系統的衝激響應 $h[n]$ 。

h[n]=Th_{c}(nT)\,

因此，該系統的頻率響應為

H(e^{j\omega })=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H_{c}\left(j{\frac {\omega }{T}}+j{\frac {2{\pi }}{T}}k\right)}\,

如果連續時間濾波器是大致是帶限的（即當 $|\Omega |\geq \pi /T$ 時， $H_{c}(j\Omega )<\delta$ ），則每次採樣的頻率低於 π（即奈奎斯特頻率低於 1/(2T) Hz）的離散時間系統的頻率響應就會大致為連續時間系統的頻率響應：

H(e^{j\omega })=H_{c}(j\omega /T)\,

for

|\omega |\leq \pi \,

與雙線性變換比較

注意到會出現混疊，包含有奈奎斯特頻率以下與超過該頻率連續時間濾波器的非零的響應混疊。雙線性轉換使用不同的映射方法，將連續系統能夠達到無限頻率的頻率響應，映射到在離散時間系統中至多能達到奈奎斯特頻率的範圍，避免了衝激不變法線性地對頻率映射產生的循環混疊，從而可以替代衝激不變法。

系統函數中極點的效應

若連續極點位於 $s=s_{k}$ ，系統函數可以用部分分式展開寫作

H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,

因此，使用拉普拉斯逆變換，得到衝激響應為

h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

對應的離散時間系統的衝激響應定義如下

h[n]=Th_{c}(nT)\,

h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,

對離散時間衝激響應進行Z變換得到下面的離散時間系統函數

H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,

於是連續時間系統函數的極點被搬移到 z = e^s_kT 處的極點。零點則不會這樣簡單地映射過去。^{[需要解釋]}

零極點

如果系統函數既有零點也有極點，可以用相同方式映射，但結果不再是衝激不變的結果：離散時間衝激響應不是簡單地與連續時間衝激響應相等。這種方法名為匹配Z變換方法，或叫做零極點映射。對於全極點濾波器，兩種方法是等價的。

穩定性和因果性

由於連續時間系統 s = s_k 處的極點轉換到離散時間系統 z = exp(s_kT) 處的極點， s 左半平面的極點就會映射到 z 平面的單位圓內部；所以若連續時間濾波器是因果穩定的，則離散時間濾波器也會時因果穩定的。

修正公式

當一個因果的連續時間衝激響應在 $t=0$ 處不連續時，上述表達式不一致。^[1] 這是因為 $h_{c}(0)$ 應道貢獻一半的值給 $h[0]$ 。

修正為：

h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0)\delta [n]\right)\,

h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,

對離散時間衝激響應進行Z變換得到下面的離散時間系統函數

H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.

參見

參考文獻

^ Jackson, L.B. A correction to impulse invariance. IEEE Signal Processing Letters. 2000-10-01, 7 (10): 273–275. ISSN 1070-9908. doi:10.1109/97.870677.

其他來源

Oppenheim, Alan V. and Schafer, Ronald W. with Buck, John R. Discrete-Time Signal Processing. Second Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 1999.
Sahai, Anant. Course Lecture. Electrical Engineering 123: Digital Signal Processing. University of California, Berkeley. 5 April 2007.

外部連結

Impulse Invariant Transform at CircuitDesign.info（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Brief explanation, an example, and application to Continuous Time Sigma Delta ADC's.

[1] Jackson, L.B. A correction to impulse invariance. IEEE Signal Processing Letters. 2000-10-01, 7 (10): 273–275. ISSN 1070-9908. doi:10.1109/97.870677.

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