元素 (範疇論)

範疇論的元素（英語：element），或點（英語：point），將集合論中集合元素的概念更推廣到任何範疇的對象。通常情況下，這一想法重新表述了泛性質態射（如單態射和積）的定義及屬性，用更普遍的術語映射其與元素的關係，從而使態射和元素可以互相轉換。米田引理和米切爾嵌入定理等一些普遍結論說明此種轉換為何成立。這種範疇論的方法（尤其是對米田引理的運用）由格羅滕迪克提出，通常被稱為點函子方法（英語：the method of the functor of points）。

定義

假設範疇C擁有A ， T兩個對象。 A的T值點只是一個$p\colon T\to A$的態射。 A 的所有T值點的集合隨着T而自然變換，從而產生A的「點函子」；根據米田引理，這可以將A完全確定為C的對象。

與集合論的關係

當C是範疇Set，即實際元素的集合時，其與範疇論元素的情況類似。在這種情況下，我們有「單點」集合{1}，任何集合S的元素都與S的{1}的值點相同。此外，還有{1,2}值點，它們是S的元素對，或S × S的元素。這些高階的點和集合併沒有直接聯繫： S完全由它的{1}點決定。然而，如上所示，這是特殊情況（因為所有集合都是{1}的迭代余積）。

參考書目

• Barr, Michael; Wells, Charles. Toposes, Triples and Theories (PDF). Springer. 1985 [2022-06-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-11-25）. 
• Awodey, Steve. Category theory. Oxford University Press. 2006. Section 2.3. ISBN 0-19-856861-4.