五維正軸體

五維正軸體（Pentacross），又稱正三十二超胞體（Triacontaditeron），是3個五維正多超胞體之一，是五維的正軸體，四維正十六胞體、三維正八面體、二維正方形的五維類比，由10個頂點、40條棱、80個正三角形面、80個正四面體胞、32個正五胞體超胞組成，施萊夫利符號{3,3,3,4}，頂點圖為正十六胞體。同時，它也是考克斯特所歸類的2₁₁多胞形。

五維正軸體 正三十二超胞體 （32-超胞） 5-正軸體
類型	五維凸正多胞體
家族	正軸體
維度	5
對偶多胞形	五維超正方體
類比	正八面體
識別
鮑爾斯縮寫	tac
數學表示法
考克斯特符號
施萊夫利符號	{3,3,3,4} {33,4} {3,3,31,1} {3,3,4}+{} {3,4}+{4}
性質
四維胞	32 {3,3,3}
胞	80 (3.3.3)
面	80 {3}
邊	40
頂點	10
特殊面或截面
皮特里多邊形	十邊形
組成與佈局
頂點圖	正十六胞體
對稱性
對稱群	BC5, [3,3,3,4]
特性
凸

幾何性質

五維正軸體是五維超正方體的對偶，施萊夫利符號{3,3,3,4}意味着每個維脊（即面）處有4個正五胞體相交，頂點處都有16個正五胞體相交，頂點圖是正十六胞體，每條棱處都有8個正五胞體相交，棱圖是正八面體。對於邊長為a的五維正軸體，其超胞積為${\frac {{\sqrt {2}}a^{5}}{30}}$，表胞積是${\frac {16a^{4}}{3}}$。

頂點坐標

以中心為原點建立四維直角坐標系，則以√2為棱長的正三十二超胞體頂點坐標為 (±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)

對稱性及結構

五維正軸體作為五維的正軸形，與五維超正方體對偶，擁有BC₅（立方形-正軸形對稱性），對應施萊夫利符號{3,3,3,4}，考斯特-迪肯符號。同時，它也可被看作是正五胞體反稜柱（即上下兩正五胞體呈對偶式排列，再由正五胞體鏈接1個正五胞體的頂點和另一正五胞體的正四面體胞形成的稜柱），具有更低的對稱性D₅，對應施萊夫利符號[3^2,1,1] 。如果我們把其對偶五維超立方體看做低對稱性的五維超長方體的話，其亦可被看作是五維的長菱體，可能有多種不同對稱性。

名稱	考克斯特符號	施萊夫利符號	對稱性	群階	頂點圖
正三十二超胞體		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
交錯五維正軸體		{3,3,31,1}	[3,3,31,1]	1920
五維長菱體
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4}+{}	[4,3,3,2]	768
		{3,4}+{4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4}+{}+{}	[4,3,2,2]	192
		{4}+{4}+{}	[4,2,4,2]	128
		{4}+{}+{}+{}	[4,2,2,2]	64
		{}+{}+{}+{}+{}	[2,2,2,2]	32

可視化

正三十二超胞體可以以不同角度平行投影到不同的考克斯特平面上：

正交投影

考克斯特平面	B5	B4 / D5	B3 / D4 / A2
圖像
二面體對稱群	[10]	[8]	[6]
考克斯特平面	B2	A3
圖像
二面體對稱群	[4]	[4]

這是正三十二超胞體五維到四維的施格萊爾投影的四維到三維的球極投影的三維到二維的透視投影。10對4條棱在球極投影中成為了10個圓，其中兩個圓成為了直線，因為它們通過了投影的中心。

參考

• H.S.M. 考克斯特:
  • H.S.M. 考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss參與編輯, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
    • (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• 諾曼·約翰 Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W.約翰: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o4o - tac. bendwavy.org. 

外部連結

• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
• Polytopes of Various Dimensions（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Multi-dimensional Glossary（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

五維正多胞體
五維正六胞體	五維超正方體	五維正三十二胞體
{3,3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4}