韦达跳跃

韦达跳越(英语:Vieta jumping)是一个处理数论的证明技巧。通常是藉韦达定理,来对根进行无穷递降法

历史

韦达跳越在国际奥林匹克数学竞赛IMO)里是一个相对较新的数论解题技巧,在1988年IMO第一次出了这类的题目,且被认为是当年最难的题目。[1]Arthur Engel 曾写了关于这问题的一段描述:

六名澳洲解题委员会委员没有一人在六小时时限内解出。其中有两名是塞凯赖什·哲尔吉和他老婆,都是有名的解题者和出题者。另外四名是澳洲数论学家。这题被他们标记上双重星号,意味著这题是极难的。经过一长时间的讨论,评审委员仍将他列在该年的最后一题。十一名学生给出了完美的解答。

在十一名学生中,有一名即为知名的菲尔兹奖得主吴宝珠[2]

标准型韦达跳跃

标准型韦达跳跃的中心概念是反证法,由下列步骤所组成:

  1. 假设存在一个不符合题意的解。
  2. 借由此解制造出的最小解 ,我们可以找到一个更小的解,但这和最小解 是相违背的。

注: 的"最小"由一个函数 给出,通常可令 

范例

1988 IMO #6

  是正整数,且 整除 。试证 完全平方数[3]

  1. k = a2 + b2/ab + 1。我们假设在满足题目的条件下,存在一个或更多不是完全平方数的解k
  2. 对特定k,使(A, B)为其对应解中A + B最小的,不失一般性可假设AB。用变数x取代A,重整方程式可得x2 – (kB)x + (B2k) = 0,其中一根为x1 = A。利用韦达定理,可将另一根表示成x2 = kBA或是x2 = B2k/A
  3. x2的第一个表示式可得x2为整数,第二个表示式可得x2 ≠ 0因为k不是完全平方数。进一步的,我们从x22 + B2/x2B + 1 = k > 0可得x2为正数。最后,从 AB可推出x2 = B2k/A < A,所以x2 + B < A + B,与A + B为最小矛盾。

常数型韦达跳跃

范例

  是正整数,且 整除 ,试证 [4]

几何解释

范例

1988 IMO #6一样可以使用几何解释解出。  是正整数,且 整除 。试证 为完全平方数。

参见辞条

参考文献

  1. ^ Arthur Engel. Problem Solving Strategies. Springer. 1998: 127 [2013-03-03]. ISBN 978-0-387-98219-9. doi:10.1007/b97682. (原始内容存档于2014-07-05). 
  2. ^ Results of International Mathematical Olympiad 1988. Imo-official.org. [2013-03-03]. (原始内容存档于2013-04-02). 
  3. ^ AoPS Forum - One of my favourites problems, yeah! • Art of Problem Solving. Mathlinks.ro. [2013-03-03]. [失效链接]
  4. ^ AoPS Forum - x*y | x^2+y^2+1 • Art of Problem Solving. Mathlinks.ro. 2005-06-07 [2013-03-03]. [失效链接]