雅可比三重乘积

雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔·雅可比在对theta函数和q-模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式，形如

$\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}z^{-2})(1+q^{2k-1}z^{+2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k^{2}}z^{2k}$

其中$q<|1|$在单位圆盘内，而$z\neq 0$非零。 它也可以用Q-函数或者q-珀赫哈默尔符号描述，

$Q_{1}Q_{2}Q_{3}=1$

证明

考虑恒等式

$q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})\left[t^{j}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})+t^{j-1}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})\right]$

立刻就有

$q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(1+t)(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m-1})$

考虑令$u=st$，则原式可改写为

$q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\sum _{j=0}^{\infty }u^{j}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+uq^{m-1}/s)$

因此

$q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+sq^{m-1})$

利用对称性，令$s=1/s$，又有

$q^{\begin{pmatrix}1-k\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{-k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)$

再考虑对$k$的双边无穷求和，

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)$

因此，进一步地

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{m})(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)$

令$q=q^{2}$且$sq=z$，恒等式得证。