超黄金比例
超黄金比例 | ||
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命名 | ||
名称 | 超黄金分割比 超黄金分割率 | |
识别 | ||
种类 | 无理数 | |
符号 | ||
位数数列编号 | A092526 | |
性质 | ||
连分数 | [1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, …] | |
以此为根的多项式或函数 | ||
表示方式 | ||
值 | 1.46557... | |
代数形式 | ||
二进制 | 1.011101110010111110101101… | |
十进制 | 1.465571231876768026656731… | |
十六进制 | 1.772FAD1EDE80B462113642B4… | |
的比例。这个值是一元三次方程的唯一一个实数根,一般以希腊字母(psi)表示。其亦可以由双曲馀弦表达:
- 。
其在十进制中的近似值约为1.465571231876768026656731…(OEIS数列A092526)。其倒数为:
超黄金数列
超黄金数列又称为娜里亚纳牛只数列,是连续项之间的比率趋近于超黄金比例的数列。[2]这个数列每一项都是前一项和前三项的和,前几项为1、 1、 1、 2、 3、 4、 6、 9、 13、 19、 28、 41、 60、 88、 129、 189、 277、 406、 595、 872……[2][3](OEIS数列A000930)。
性质
超黄金比例的部分性质与黄金比例相关。例如超黄金数列(娜里亚纳数列)第n项的值表示用1×1和1×3的方块铺满1×n矩形的方法数[4][注 1],而斐波那契数列第n项的值则是表示用1×1和1×2的方块铺满1×n矩形的方法数[5][注 2]。超黄金比例满足ψ−1 = ψ−2,而黄金比例则是满足φ−1 = φ−1。在斐波那契兔子问题中,每对兔子可以在出生后的第二个周期开始每个周期都繁殖一次;而在娜里亚纳牛只问题中,每对牛只可以在出生后的第三个周期开始每个周期都繁殖一次[2]。此外,边长比为超黄金比例的矩形(下称超黄金矩形)具有这样的特性:如果从超黄金矩形的一侧移除一个正方形,剩馀的部分可以分割成一大一小方向不同的超黄金矩形。[2]
超黄金矩形
超黄金矩形是边长比为超黄金比例ψ= 的矩形。当从超黄金矩形的短侧移除一个正方形,剩馀的矩形边长比将变为ψ2:1。这个矩形可以分割成边长比为ψ:1和1:ψ的两个矩形,这两个矩形为方向差90度的两个超黄金矩形,[2]面积比为ψ2:1。[3]此外,若将分开两超黄金矩形的线延伸至穿过原始矩形的其馀部分以及从原始矩形移除正方形的边来将原始矩形分成4个象限,则分割后面积较大的超黄金矩形与对角象限的矩形面积相同,[6]其对角线长为原始矩形的短边长除以 的值。第四象限也是超黄金矩形,其对角线长为原始矩形短边的 倍。[3]
参见
注释
参考文献
- ^ OEIS-A092526. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A092526. 2004-04-07 [2019-02-15]. (原始内容存档于2022-07-16) (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Crilly, Tony. Chapter 11–12. Mansfield, Keith (编). 50 mathematical ideas you really need to know. Illustrated by Tony Crilly and Patrick Nugent; proofread by Anna Faherty 13th. London: Quercus. 2007: 47–51. ISBN 978-1-84724-147-4 (英语).
- ^ 3.0 3.1 3.2 Koshy, Thomas. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications 2. John Wiley & Sons. 2017 [2018-08-14]. ISBN 9781118742174. (原始内容存档于2022-07-18) (英语).
- ^ Sloane, Neil. A000930 - OEIS. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A000930. 2012-09-07 [2018-08-12]. (原始内容存档于2022-07-10) (英语).
- ^ Sloane, Neil. A000045 - OEIS. oeis.org. The OEIS Foundation Inc: A000045. 2012-09-07 [2018-08-12]. (原始内容存档于2016-06-16) (英语).
- ^ Crilly, Tony. A Supergolden Rectangle. The Mathematical Gazette. 1994, 78 (483): 320–325. JSTOR 3620208. doi:10.2307/3620208.