西尔维斯特数列

西尔维斯特数列的定义为。当,由于空积(一个空集内所有元素的积)是,所以,之后是OEIS:A000058

这亦可以用递归定义:

数学归纳法可证明

“求个埃及分数,使它们之和最接近而又小于。”答案就是这数列中首个数的倒数之和。[1]因此,西尔维斯特数列又可以贪婪算法来定义:每步选取的一个分母,使得对应的埃及分数再加上之前的和最接近1而又少于1。

西尔维斯特数列可以表示为,其中E约为1.264。这和费马数很相似。

这数列以詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特命名。

和为有理数且快速增长的唯一性

若有数列   ,则必存在 使得对于  [1]

保罗·艾狄胥猜想上面的不等式可以改为更弱的条件 

质数

显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数列的因数。[2]现时所知的西尔维斯特数中,都是无平方数因数的数,但未有证明所有西尔维斯特数都是。西尔维斯特数的质因数在质数集的密度为0。[2]

参考

  1. ^ Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.
  2. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0.