舒恩哈特八面体
舒恩哈特八面体是一种多面体，这种多面体为需要额外加入顶点才能将之三角剖分成若干四面体的立体中，结构最简单的多面体。这个多面体由埃里希·舍恩哈特于1928年发现，并且以他的名字命名。相同的多面体亦作为柯西刚性定理描述具有相同形状之面连接性所构成的2个不同多面体的示例。[1]
构造
舒恩哈特八面体可以在2个互相平行的平面上各置一个互相全等的正三角形，同时确保这两个正三角形的几何中心位于相同且同时垂直于两平面的直线上。同时这两个正三角形的关系并非相对平移、也不是180度旋转或镜射，而是些微扭转。接著将一侧正三角形的边与另一侧正三角形的一顶点补上三角形面完成构造。[2]
上述的两个互相平行的正三角形对应的凸包形成了一个凸多面体，这个凸多面体在拓朴结构上与正八面体等价。除了原有的两正三角形的边，舒恩哈特八面体还有6条连接两正三角形的六条边，这六条边有两种不同的长度，一个是一侧正三角形的边与另一侧正三角形的一顶点之连线，另一个是两互相平行的正三角形对应凸包的内对角线。[3]
将两个互相平行的正三角形对应的凸包移除最长的三条边，并将之替换为凸包的三条对角线即可构造出舒恩哈特八面体。另一种等校的构造方式是从正八面体开始，并在不破坏边与面的连接关系下扭转正八面体的其中一个面。扭转60度时会形成三角柱；扭转120度时会形成一对共享中心顶点的正四面体。在这两个扭转角度间（60度至120度）所构成的立体都是舒恩哈特八面体。[4][5]:254
另一种构造方式则是从上述的两个互相平行的正三角形对应的凸包中移除三个不相交的四面体来形成舒恩哈特八面体：每个移除的四面体都是来自两个互相平行的正三角形中的各两个顶点，共四个顶点。这种移除方式会导致三个连接边中较长的边被移除四面体后所形成的新的边替换，从而形成一个非凸多面体。[6]
性质
舒恩哈特八面体的结构在组合上等价于正八面体，也就是说，舒恩哈特八面体的顶点、边和面可以与正八面体的顶点、边和面一一对应。但与正八面体不同的是，舒恩哈特八面体的3条边具有凹二面角，而这三个边在图论上与正八面体对应的图论结构——正八面体图完美对应； 这一事实足以表明舒恩哈特八面体不能以四面体完成三角剖分。[7]
应用
吉姆·鲁珀特（Jim Ruppert）和雷蒙德·赛德尔以舒恩哈特八面体为基础证明“确定一个非凸多面体能否三角剖分”是一个NP完全问题。[4]
参见
参考文献
- ^ Grünbaum, Branko, Lectures on lost mathematics (PDF): 41–42, 1975 [2022-05-25], （原始内容 (PDF)存档于2020-08-30）
- ^ Schönhardt, E., Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder, Mathematische Annalen, 1928, 98: 309–312, doi:10.1007/BF01451597
- ^ Gravin, Nick and Pasechnik, Dmitrii and Shapiro, Boris and Shapiro, Michael. On moments of a polytope},. Analysis and Mathematical Physics. 2018-06, 8. doi:10.1007/s13324-018-0226-8.
- ^ 4.0 4.1 Ruppert, J.; Seidel, R, On the difficulty of triangulating three-dimensional nonconvex polyhedra, Discrete & Computational Geometry, 1992, 7: 227–253, doi:10.1007/BF02187840
- ^ O'rourke, Joseph. Art gallery theorems and algorithms 57. Oxford New York, NY, USA. 1987.
- ^ Si, Hang and Ren, Yuxue and Lei, Na and Gu, Xianfeng. On Tetrahedralisations Containing Knotted and Linked Line Segments. Procedia engineering (Elsevier). 2017, 203: 323–335.
- ^ D. Eppstein. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. （原始内容存档于2021-01-26）.
