自旋-轨道作用

量子力学中的粒子作用

量子力学里,一个粒子因为自旋轨道运动而产生的作用,称为自旋-轨道作用(英语:Spin–orbit interaction),也称作自旋-轨道效应自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核电场时,会产生电磁作用.电子的自旋与这电磁作用的耦合,形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移,证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。

半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。

电子的自旋-轨道作用

在这篇文章里,会以相当简单与公式化的方式,详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学非相对论性量子力学一阶微扰理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案,虽然与实验结果并不完全相同,但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程式开始,也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案,则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。

磁场

虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ,并没有作用在电子上的磁场;在电子的静止参考系,有作用在电子上的磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系,则根据狭义相对论[1],磁场  

 (1)

其中,  是电子的速度,  是电子运动经过的电场, 光速

以质子的位置为原点,则从质子产生的电场是

 

其中,  是质子数量(原子序数), 单位电荷量 真空电容率  是径向单位向量,  是径向距离,径向向量   是电子的位置。

电子的动量  

 

其中,  是电子的质量。

所以,作用于电子的磁场是

 (2)

其中, 角动量 

  是一个正值因子乘以   ,也就是说,磁场与电子的轨道角动量平行。

磁矩

电子自旋的磁矩  

 

其中, 旋磁比 (gyromagnetic ratio) ,  是自旋角动量, 朗德g因子 电荷量

电子的朗德g因子(g-factor)是   ,电荷量是   。所以,

 (3)

电子的磁矩与自旋反平行。

哈密顿量微扰项目

自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目是

 

代入   的公式 (3) 和   的公式(2),经过一番运算,可以得到

 

一直到现在,都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应,必须添加因子   在公式里。所以,

 

能级位移

在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后,现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地,想要找到  本征函数形成的基底,使   能够对角化。为了找到这基底,先定义总角动量算符  

 

总角动量算符与自己的内积是

 

所以,

 

请注意    互相不对易   互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实,   的共同本征函数不能被当做零微扰波函数,用来计算一阶能量位移     的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数,用来计算一阶能量位移   。可是,      ,这四个算符都互相对易。     ,这四个算符也都互相对易。所以,     ,这四个算符的共同本征函数   可以被当做零微扰波函数,用来计算一阶能量位移   ;其中,  主量子数  是总角量子数, 角量子数  是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底,就是想要寻找的基底。这共同本征函数    的期望值是

 

其中,电子的自旋  

经过一番繁琐的运算[2],可以得到   的期望值

 

其中, 波耳半径

将这两个期望值的公式代入,能级位移是

 

经过一番运算,可以得到

 

其中,  是主量子数为   的零微扰能级。

特别注意,当   时,这方程式会遇到除以零的不可定义运算;虽然分子项目   也等于零。零除以零,仍旧无法计算这方程式的值。很幸运地,在精细结构能量微扰的计算里,这不可定义问题自动地会消失。事实上,当   时,电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来,  球谐函数

 

由于完全跟角度无关,角动量也是零,电子并不会感觉到任何磁场,所以,电子的   轨道没有自旋-轨道作用。

参阅

参考文献

  1. ^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224. 
  2. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7. 

外部链接