洛必达法则

使用衍生工具幫助評估涉及不確定形式的限制的法則

洛必达法则(又称罗比塔法则[1])(法语:Règle de L'Hôpital,英语:L'Hôpital's rule)是利用导数计算具有不定型极限方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名,但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利[2]所发现。

叙述

洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。令 扩展实数),两函数 在以 为端点的开区间可微, ,并且 

如果    其中一者成立,则称欲求的极限 未定式

此时洛必达法则表明:

 

对于不符合上述分数形式的未定式,可以通过运算转为分数形式,再以本法则求其值。以下列出数例:

欲求的极限 条件 转换为分数形式的方法
(1)      
(2)     
(3)   
 
 
(4)     

注意:不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。


证明

下面仅给出   的证明。

设两函数  在a 点附近连续可导,  都在 a 点连续,且其值皆为 0 ,

 

为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为

 

由极限的定义,对任何一个 (试想像y轴),都存在 (试想像x轴),使得对任意的 ,都有:

 

而根据柯西中值定理(逆定理),对任意的 ,都存在一个介于  之间的数 ,使得:

   
于是,  

因此,

极限 

例子

   
   
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 

参阅

参考文献

来源

参考

  1. ^ 沈忠良, 黄葆华; 张伟明. 通信原理简明教程. 机械工业. 2012: 14. ISBN 978-7-111-37784-9. 
  2. ^ Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : 116. ISBN 0-691-05854-7.