叙述
洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。令 (扩展实数),两函数 在以 为端点的开区间可微, ,并且 。
如果 或 其中一者成立,则称欲求的极限 为未定式。
此时洛必达法则表明:
。
对于不符合上述分数形式的未定式,可以通过运算转为分数形式,再以本法则求其值。以下列出数例:
欲求的极限
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条件
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转换为分数形式的方法
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(1)
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或
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(2)
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(3)
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或
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(4)
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注意:不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàro theorem)作为替代。
证明
下面仅给出 的证明。
设两函数 及 在a 点附近连续可导, 及 都在 a 点连续,且其值皆为 0 ,
-
为了叙述方便,假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面,两函数的导数比值在 a 点存在,记为
-
由极限的定义,对任何一个 (试想像y轴),都存在 (试想像x轴),使得对任意的 ,都有:
-
而根据柯西中值定理(逆定理),对任意的 ,都存在一个介于 和 之间的数 ,使得:
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于是,
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因此,
- 极限
例子
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参阅
参考文献