法里数列

数学上，n阶的法里数列是0和1之间最简分数的数列，由小至大排列，每个分数的分母不大于n。每个法里数列从0开始，至1结束，写作⁰⁄₁和¹⁄₁，但有些人不把这两项包括进去。有时法里数列也称为法里级数，严格来说这名字不正确，因为法里数列的项不会加起来。

例子

1至8阶的法里数列如下：

F₁ = {⁰⁄₁, ¹⁄₁}

F₂ = {⁰⁄₁, ¹⁄₂, ¹⁄₁}

F₃ = {⁰⁄₁, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ¹⁄₁}

F₄ = {⁰⁄₁, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ³⁄₄, ¹⁄₁}

F₅ = {⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁}

F₆ = {⁰⁄₁, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ¹⁄₁}

F₇ = {⁰⁄₁, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ¹⁄₁}

F₈ = {⁰⁄₁, ¹⁄₈, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ³⁄₈, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ⁵⁄₈, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ⁷⁄₈, ¹⁄₁}

历史

“法里数列”历史颇为稀奇。 — Hardy & Wright (1979) 第三章

……又一次，数学关系的名字取自一个人，但记录所载这人不是其发现者。 — Beiler (1964) 第十六章

法里数列是以英国地质学家老约翰·法里得名，他关于这数列的信刊登在1816年的《哲学杂志》。法里猜测这数列的每一项都是相邻两项的中间分数；不过，以所知道的资料，他没有证明这个性质。法里的信给柯西读了，就给了一个证明在他的《数学习题》，把这结果归到法里上。其实，另一位数学家 C. Haros 曾在1802年发表了相类似的结果，几乎可以肯定法里和柯西都没看过。所以，法里的名字给了这个数列，是历史的一次意外。

性质

数列长度

n阶的法里数列$F_{n}$包含了较低阶的法里数列的全部项，特别是它包含$F_{n-1}$的全部项，和与n互质的每个数的相应分数。所以$F_{6}$包含了$F_{5}$和分数¹⁄₆及⁵⁄₆。对大于1的n，其法里数列的中间项必定是¹⁄₂。

从上，$F_{n}$和$F_{n-1}$的长度的关系，可以用欧拉函数$\varphi (n)$描述：

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n)$。

从$|F_{1}|=2$这项资料，可以推导出$F_{n}$的长度公式：

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)$。

$|F_{n}|$的渐近行为是：

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$。

数列邻项

法里数列的相邻分数项有下述性质：

若^a⁄_b和^c⁄_d是法里数列的邻项，而有^a⁄_b < ^c⁄_d，则它们之差^c⁄_d − ^a⁄_b是¹⁄_bd。由于

${\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}}$，

上文就等于是说

bc − ad = 1。

例如¹⁄₃和²⁄₅在$F_{5}$中是邻项，它们之差为¹⁄₁₅。

这结果的逆命题也成立。若

bc − ad = 1，

其中a,b,c和d为正整数，及有a < b和c < d，则^a⁄_b和^c⁄_d在阶为$\max(b,d)$的法里数列中是邻项。

若^p⁄_q在某法里数列的邻项是^a⁄_b和^c⁄_d，及

^a⁄_b < ^p⁄_q < ^c⁄_d，

则^p⁄_q是^a⁄_b和^c⁄_d的中间分数。换句话说，

${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}$。

又若^a⁄_b和^c⁄_d在某法里数列是邻项，则当法里数列的阶增加，它们间出现的第一项是

${\frac {a+c}{b+d}}$，

而这项第一次出现在b+d阶的法里数列中。

例如在¹⁄₃和²⁄₅间出现的第一项是³⁄₈，在$F_{8}$出现。

Stern-Brocot树是一个资料结构，显出如何从0 (= ⁰⁄₁)和1 (= ¹⁄₁)开始，以取中间分数来构成法里数列。

法里数列中的邻项分数，它们的连分数表示形式也密切相关。每个分数都有两个连分数表示，一个的尾项为1，另一个则大于1。考虑^p⁄_q，它第一次于$F_{q}$出现。以连分数表示为

$[0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},1]$，或

$[0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}+1]$，

则^p⁄_q在$F_{q}$中最接近的邻项（这是两邻项中分母较大的）表示为连分数是

$[0;a_{1},a_{2},...,a_{n}]$，

而另一邻项则会表示为

$[0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1}]$。

例如³⁄₈有两个连分数表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在$F_{8}$中的邻项为²⁄₅，可写成[0;2,1,1]；和¹⁄₃，可写成[0;2,1]。

福特圆

法里数列和福特圆之间有个有趣关连。

对每个最简分数^p⁄_q，有福特圆C[^p⁄_q]，以${\frac {1}{2q^{2}}}$为半径，以$\left({\frac {p}{q}},{\frac {1}{2q^{2}}}\right)$为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开，一是相切，但不会相交。若0 < ^p⁄_q < 1，则与相切的福特圆正好是在某一法里数列中与^p⁄_q为邻项的分数。

例如C[²⁄₅]与C[¹⁄₂]，C[¹⁄₃]，C[³⁄₇]，C[³⁄₈]等相切。

F1--F8的福特圆图像如下：

外部链接

• Farey Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）