沙普利-福克曼引理

沙普利-福克曼引理是凸几何的一条引理，其于数理经济学有应用。引理描述向量空间子集的闵可夫斯基和有何性质。若干个集合的闵可夫斯基和，即从各集合分别取一个元素相加，组成的集合：例如，将整数$0$和$1$组成的集合，与自身相加，得到由$0,\ 1,\ 2$组成的集合，以符号可写成：

此处以四个集合的闵可夫斯基和为沙普利-福克曼引理的例证。在左边，四个非凸集中的点(+)之和，就是右边，其闵氏和凸包中的点(+)。左边四点之中，有两点位于相应的非凸集中，另有两点位于非凸集的凸包中。各凸包以浅粉红色画出。原来的集合各只有两点（以红点表示）。

$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2\}.$

“许多个集合的闵氏和，是否必定近似凸集？”沙普利-福克曼引理和相关的结果表明，问题的答案为肯定。集合称为凸，意思是连接其中任意两点的线段，必为该集合的子集：举例，实心圆盘 $\bullet$ 为凸集，但圆 $\circ$ 则不然，因为连接相异两点的线段 $\oslash$ 并不是圆的子集。沙普利-福克曼引理大致断言，若求和项的数目超出向量空间的维数，则其闵氏和将近凸。

沙普利-福克曼引理引入时，是作为证明沙普利-福克曼定理的一步，该定理断言闵氏和与其凸包的距离不超过某个上界。所谓集合$Q$的凸包，是包含$Q$的最小凸集。而当且仅当和为凸时，上述距离为零。定理中，距离的上界取决于维数$D$及求和项的形状，但不取决于求和的项数$N$，而只需$N>D$。只要其中$D$个求和项的形状，就足以确定$N$个集合的闵可夫斯基平均集

${\frac {1}{N}}\left(Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}\right)$

与其凸包的距离的上界。当$N$趋向无穷时，该上界递减至零（需要各求和项的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论将沙普利-福克曼定理的上界压得更低，故又称为沙普利-福克曼-斯塔定理。

劳埃德·沙普利和强·福克曼的引理，最先由经济学家罗斯·斯塔发表，其时斯塔正在肯尼斯·阿罗门下，研究经济均衡的存在性。斯塔在论文中，研究凸化（convexified）经济体，即将非凸集换成其凸包。斯塔证明，凸化之后，有些均衡由原经济体的“准均衡”（quasi-equilibria）逼近；还证明，每个准均衡都具有真均衡的许多最优性质，而凸经济体中则必定存在真均衡。斯塔1969年的论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结果得到广泛应用，用作证明（凸）经济理论的若干核心结果，尽管不适用于有非凸部分的大经济体，但在此等经济体中，仍是良好的近似。罗歇·盖内里评论：“这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。”许多诺贝尔奖得主都曾研究经济学中的非凸集，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题“经济学中的凸集”，除以上得主著重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利-福克曼引理在优化论和概率论皆有应用。优化论中，可以引理解释，在求多个函数之和的最小值时，为何一些解法可以成功。概率论中，引理适用于证明随机集的“大数定律”。此定理先前仅在凸集的情况得证。

简单例子

考虑凸的实数区间$[0,1]$，其包含整数子集$\{0,1\}$，且是其凸包（添加了两点所连线段上的所有点）。仅得两个元素的集合$\{0,1\}$，复制成三份，并按元素求和，得到

$\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2,3\}.$

（此处集合的和，是从各集合分别取一个元素相加，得到的可能结果的集合，称为闵氏和。）和集的凸包则为区间$[0,3]$。

区间$[0,3]$中，每个数$x$都可以写成区间$[0,1]$中某三个实数（允许重复）之和，例如将$x$等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，则有更强的结论：$[0,3]$的每个数，都可以写成$\{0,1\}$中某两个整数（允许重复），与$[0,1]$中某一个实数之和。

凸包$[0,1]$中的点，到$\{0,1\}$的距离，至多为$1/2$：

${\frac {1}{2}}=\left|{\frac {1}{2}}-0\right|=\left|{\frac {1}{2}}-1\right|,$

然而，考虑三个区间$[0,1]$的闵氏平均

${\frac {1}{3}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\left\{0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},\ 1\right\},$

与其凸包$[0,1]$的距离，仅为$1/6$，即未平均前$\{0,1\}$与$[0,1]$距离（$1/2$）的三分之一。越多个集合相加，其闵氏平均就将凸包填得越满：由闵氏平均至凸包的最远距离，随被加项数增加，而趋向于零。此为沙普利-福克曼定理的结论。

前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸几何的若干定义和定理，本节将作简介。

实向量空间

二维的实向量空间上，有笛卡儿坐标系，将每点视为一对实数，称为“坐标”，按惯例记为$x,\ y$。笛卡儿平面上的两点，可以逐个坐标相加：

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}).$

此外，点也可以逐个坐标与实数$\lambda$相乘：

$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y).$

更一般而言，任何$D$维（有限维）实向量空间，均可视为$D$个实数组成的D元组的集合$\{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{D})\}$，并配备两种运算：向量加法和标量乘法。有限维实空间的此两种运算，皆定义成逐个坐标运算，与笛卡儿平面上的运算类似。

凸集

凸集$Q$中，连接任意两点的线段仍是$Q$的子集。

非凸集$Q$中，连接某两点的线段上，有一点不再是$Q$的元素。

用线段可以检验某集合是否凸集。

实向量空间中，非空子集$Q$称为凸集，意思是，对于$Q$的任意两个点，连接两点成一线段，其上的所有点仍在$Q$中。例如，实心圆盘 $\bullet$ 为凸，但圆 $\circ$ 则不然，因为连接相异两点的线段 $\oslash$ 并不是圆的子集。三个整数的集合$\{0,1,2\}$非凸，但其为区间$[0,2]$的子集，而该区间为凸。又例如，实心立方体为凸，然而任何空心或凹陷的图形，如弯月形，则非凸。空集也是凸集，视乎作者偏好，这可能是专门的定义，也可能是因为要满足的条件是空真命题。

更严谨而言，集合$Q$称为凸，意思是，对$Q$中任意两点$v_{0},v_{1}$，和单位区间$[0,1]$中的任意实数$\lambda$，点

$(1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}$

仍是$Q$的元素。

由数学归纳法，集合$Q$为凸，当且仅当其任意多个元素的凸组合仍在$Q$中。所谓向量空间子集$\{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{D}\}$的凸组合，是其元素的任意加权平均$\lambda _{0}v_{0}+\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{D}v_{D}$，而各$\lambda _{i}$可以是总和为$1$的任意非负实数，即只需$\lambda _{0}+\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{D}=1$。

凸集的定义推出，两个凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作为特例，若取两个不交的凸集，则其交集为空集，故应当称空集为凸。

凸包

红色集的凸包中，每个蓝点都是若干个红点的凸组合。

对于实向量空间的每个子集$Q$，其凸包$\mathrm {Conv} (Q)$是包含$Q$的最小凸集。所以，$\mathrm {Conv} (Q)$是所有覆盖$Q$的凸集的交。等价地，可以将$\mathrm {Conv} (Q)$定义成$Q$的点的所有凸组合的集合。作为例子，整数集合$\{0,1\}$的凸包，是实数闭区间$[0,1]$，其两端为原有的整数$0,1$。单位圆的凸包则是闭单位圆盘，其包含单位圆。

闵可夫斯基和

集合的闵可夫斯基和。两个小正方形$Q_{1}=[0,1]^{2}$和$Q_{2}=[1,2]^{2}$的和，是大正方形$Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}$。

在任何向量空间（或有定义加法的代数结构）$X$中，两个非空子集$A,B\subseteq X$的闵可夫斯基和，定义为其元素之和的集合，即 $A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}$（参见)。例如：

$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.$

此运算定义在非空子集族上，且满足结合律和交换律。既然有结合律和交换律，就可以递归定义多个被加项的运算结果$\sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}$。由数学归纳法，可见

$\sum _{n=1}^{N}Q_{n}=\left\{\left.\sum _{n=1}^{N}q_{n}\right|q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.$

闵可夫斯基和的凸包

闵可夫斯基和与凸包运算可以交换。具体而言，对实向量空间$X$的任意子集$A,B\subseteq X$，其闵氏和的凸包等于其凸包的闵氏和。换言之，

$\mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).$

故由数学归纳法得

$\mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})$

对任意$N\in \mathbb {N}$和非空子集$Q_{n}\subseteq X$（$1\leq n\leq N$）成立。

各命题的叙述

闵氏和及凸包。右图的十六个红点，组成左图四个非凸集的闵氏和。左图每个非凸集由两个红点组成，其凸包（浅粉红色）包含标记加号（+）的点，而右图中的加号等于左图各个标加号的点之和。

由前一段的恒等式，对和的凸包中的每点$x\in \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)$，都存在各凸包的$q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})$（$n$取遍$1$至$N$），使得$\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)=x$。各点$q_{n}(x)$的位置取决于$x$。

引理

劳埃德·沙普利，2012年诺贝尔经济学奖得主。他与强·福克曼一同证明沙普利-福克曼引理。

有了以上背景，沙普利-福克曼引理断言，$x$的表示法

$x=\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)$

中，仅需要不多于$D$个被加项$q_{n}(x)$取自凸包，而其他被加项，则只需取自原来的集合$Q_{n}$。以符号复述，即有以上方法表示$x$，且满足$|\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D$。不妨将下标重新排序，然后就有

$x=\sum _{n=1}^{D}q_{n}(x)+\sum _{n=D+1}^{N}q_{n}(x)$

其中对$1\leq n\leq D$，有$q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})$，而对$D+1\leq n\leq N$，则有$q_{n}\in Q_{n}$。注意，倘若重排，则排序的方式也取决于点$x$。再精简，沙普利-福克曼引理可以写成

$\mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq \bigcup _{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})+\sum _{n\notin I}Q_{n}.$

举例，集合$[0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})$中的每个点，根据引理，必定可以写成$\{0,1\}$的某个元素，与$[0,1]$的某个元素之和。

实向量空间的维数

反之，沙普利-福克曼引理刻划了有限维实向量空间的维数。具体而言，若某向量空间，对于某个自然数$D$满足引理的结论，但对小于$D$的数不满足，则其维数恰好为$D$。引理仅对有限维向量空间成立。

沙普利-福克曼定理及斯塔的推论

某点集（深红）的凸包以浅红虚线围起。点集的内半径（绿色）必定小于其外接圆半径（蓝色），除非所有点共圆，此时两个半径相等。

沙普利与福克曼运用其引理，证明沙普利-福克曼定理，给出集合的闵氏和与其凸包（称为凸化（convexified）和）的距离上界。定理的叙述如下：

凸化和$\mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)$的任一点，到（未凸化）和集$\sum Q_{n}$的欧氏距离平方，不超过各集合$Q_{n}$的外接半径中，最大$D$个的平方和。(所谓外接半径，定义为包围该集合的最小球面的半径。）此上界与求和项数$N$无关（但要求$N>D$，且集合不能越来越大）。

上述定理给出闵氏和及其凸包之间距离的上界。当且仅当闵氏和为凸集时，此距离为零。该上界取决于维数$D$及各被加项的形状，但只要$N>D$，就不取决于项数$N$。

通常，外接半径会大于内半径，而无论如何，外接半径总不能小于内半径。集合$Q_{n}$的内半径定义为：

最小的正实数$r$，满足：若$q$在$Q_{n}$凸包中，则$q$在$Q_{n}$若干点的凸包中，而该些点皆在同一个半径为$r$的球内。

斯塔将沙普利-福克曼定理中的外接半径换成内半径，从而压低沙普利-福克曼定理的上界：

沙普利-福克曼定理的斯塔推论：

凸化和$\mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)$的任一点，到（未凸化）和集$\sum Q_{n}$的欧氏距离平方，不超过各集合$Q_{n}$的内半径中，最大$D$个的平方和。

斯塔的推论确定，$N$个集合的闵氏和与其凸包之间，欧氏距离的上界。此距离可以衡量闵氏和非凸的程度，故为简单起见，下文称为非凸度。于是，斯塔对非凸度的上界，仅取决于$D$个最大内半径之值，但不取决于求和的项数$N$（假设$N>D$）。

例如，非凸集$\{0,1,2\}$的非凸度为$1/2$，因为与其凸包（区间$[0,2]$）的距离为

${\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.$

所以，既然$\sum Q_{n}$的非凸度有不取决于项数$N$的上界，就知平均集

${\frac {1}{N}}\left(\sum Q_{n}\right)$

非凸度上界，会随$N$增加而递减。例如，平均集

${\frac {1}{2}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\{0,\ 1/2,\ 1\}$

和其凸包$[0,1]$的距离仅为$1/4$，等于被加项$\{0,1\}$与其凸包$[0,1]$的距离（$1/2$）之半。仅要最大$D$个求和项的形状，已足以计算和集与凸包的距离的上界，故除以$N$后，平均集与凸包的距离，在$N$趋向无穷时，会递减至零（对均匀有界的求和项成立，即各个求和项的大小需有同一个上界）。若使用斯塔的上界，则前一句结论的条件可以放宽，只需各求和项的内半径有同一个上界。

证明和计算

沙普利-福克曼引理的原证明，仅确定存在该种表示法，而无说明如何构造。阿罗与哈恩、盖士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾给出类似的证明。阿特斯泰因（Artstein）扩展了埃科兰德的简洁抽象证明。也有未经出版的另证。1981年，斯塔发表一种叠代法，可以计算给定点的表示法，然而，此计算方法给出的上界，较非构造性证明的上界差。博赛卡斯的书有讲述有限维空间沙普利-福克曼引理的初等证明，并将引理应用于估计可分优化（separable optimization）问题与零和赛局的对偶间隙。

应用

有沙普利-福克曼引理，学者就得将有关凸集闵氏和的结果，套用到（无需凸的）一般集合之和。此种和见于经济学、最优化理论、概率论。此三领域的应用中，非凸性起到重要作用。

经济学

消费者偏好位于无差异曲线$I_{3}$上的任意篮子，胜过位于$I_{2}$上的篮子。篮子$(Q_{x},Q_{y})$，是预算线（蓝色）支撑$I_{2}$的位置，所以是最优而又可行。相反，虽然消费者更偏好$I_{3}$上的任意篮子，但无足够预算，所以并不可行。

参见：经济学中的凸集

经济学中，消费者对每一“篮子”商品（basket，即商品的组合）有其偏好程度。每篮子可用一个非负向量表示，其坐标为篮中各商品的量。所有篮子组成的集合中，每个消费者有自己的一族无差异曲线，满足：在同一条曲线上的各篮子，对该消费者是等价的，即消费者并不觉该曲线上有篮子胜于另一个篮子。每篮子恰好处于一条无差异曲线上。消费者相对于一条无差异曲线的偏好集，定义为该无差异曲线与其更偏好的区域的并集。称消费者的偏好为凸，意思是其所有偏好集皆为凸。

如图所示，消费者认为的最优篮子，是在预算线支撑某个偏好集时取到，因为此时，所选的篮子是整条预算线上，达到最高的无差异曲线的一点。所谓预算线，是由商品的价格向量与消费者的收入计算得出的限制，消费者无足够收入购买高于此线的篮子。所以，最优篮子的集合是各价格的函数，称为消费者的需求。若偏好集为凸，则不论价格为何，消费者认为的最优篮子总是组成凸集，例如可能是单元集，或是一条线段。

非凸偏好

若消费者的偏好有凹陷，则消费者的决定可以不连续，从一个篮子跳到另一个隔开的篮子。

参见：非凸集 (经济学)

然而，若有偏好集非凸，则某些价格确定的预算线，可能在两个分开的最优篮子支撑该偏好集。例如，可以设想，动物园购买狮子或鹰的价钱一样，且其预算恰好够买一只狮子或一只鹰。此外，假设园主亦认为两只动物价值相同，则动物园有可能买狮子，也可能买鹰，但当然不可能买半只狮子加半只鹰（狮鹫）。所以，园主的偏好非凸：买两只动物中的任一只，胜于两者的严格凸组合。

若消费者有非凸偏好集，则对于某些价格，需求不连通。不连通的需求，会导致消费者的行为出现不连续的间断。引述哈罗德·霍特林的话（宜配合所附动图理解）：

若考虑波浪形的无差异曲线，即在某些区域向原点凸，而在其他区域向原点凹，则我等被迫推论，仅有向原点凸的部分需要理会，因为几乎不可能观测到其他部分。要侦测该些部分，唯一方法是，观察价格之比率变化时，需求的不连续变化。此变化的效果是，当直线旋转时，切点会突然跃过某凹陷。虽然此种不连续的表现，揭示有凹陷，但却不可能量度缺口的深度。倘若无差异曲线，或其高维推广，有凹陷部分，则定必因永远无法测量，而不为人知。

瓦尔特·迪韦尔特书中，称赫尔曼·沃尔德有强调研究非凸偏好的困难，也引述保罗·萨缪尔森称凹陷处“被永恒的黑暗遮蔽”。

尽管有上述困难，《政治经济期刊》（JPE）在1959年至1961年间，刊登一系列的论文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷尔（Farrell）、巴托尔、科普曼斯、罗森博格（Rothenberg）。其中，罗森博格讨论非凸集和的近似凸性。该些JPE论文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著论文，研究凸化的消费者偏好，并引入“近似均衡”（approximate equilibrium）的概念。JPE论文和沙普利-舒比克论文又启发了罗伯特·奥曼提出另一个概念，称为“准均衡”（quasi-equilibrium）。

斯塔1969年的论文与当代经济学

肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔奖得主）帮助罗斯·斯塔研究非凸经济体。

肯尼斯·阿罗收集前人研究经济学中的非凸集的文献，列成表，并加入注解，交给罗斯·斯塔。斯塔当时仍是本科生，但已在修读阿罗开设的高等数理经济学（研究生）课程。斯塔在学期论文中，考虑将非凸偏好换成其凸包所得的假想经济体，研究其一般均衡。凸化经济体中，在每个价位，总需求皆是各消费者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引数学家劳埃德·沙普利和强·福克曼参与，两人“在私人通信中”证明现以两人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才于论文报告此事。

斯塔1969年的论文中，应用沙普利-福克曼-斯塔定理，证明“凸化”经济体有一些一般均衡，只要参与者足够多，能以原经济体的“准均衡”近似。具体而言，斯塔证明，至少存在一个价格向量为$p_{\mathrm {opt} }$的准均衡，满足下列条件：

• 对每个准均衡$p_{\mathrm {opt} }$，所有消费者都可以选到其最优的篮子（在预算限制内，且最偏好）。
• 在该价格$p_{\mathrm {opt} }$，凸化经济体中，每种商品的市场皆均衡，即供给等于需求。
• 每个准均衡的价格，皆“几乎出清”原经济体的市场：凸化经济体均衡组成的集合，与原经济体的准均衡集合，两者的距离有上界。此结论是根据沙普利-福克曼定理的斯塔推论得到。

斯塔确立以下结论：

“总体中，［取各消费及生产集的凸包］所得的假想经济体的分配，与真实经济体的某个分配，两者的差异，有不取决于参与者数目的上界。因此，当参与者数目趋向无穷时，平均参与者感受到，与拟作行动的偏差，近乎可以忽略不计。”

斯塔1969年论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济理论获广泛应用。罗歇·盖内里如此总结该结论对经济学的意义：“假设凸性，所得的若干重要结果，在不具凸性的情况下，仍（近似）适用。例如，若经济体具有大消费侧，则偏好的非凸性不影响适用标准结果”，还称“这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。”许多诺贝尔奖得主都曾研究经济学中的非凸集，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题“经济学中的凸集”，除以上得主著重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济学各分支的文献都经常出现，包括微观经济学、一般均衡理论、公共经济学（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、经济学中的应用数学。沙普利-福克曼-斯塔的结论，也使经济学更多使用测度论和积分理论。

最优化理论

函数称为凸，意思是图像上方的区域为凸集。

沙普利-福克曼引理可以解释，为何大规模的最小化问题，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（仅对于凸问题，有证明叠代法收敛到最优解）。沙普利-福克曼引理，促使学者将凸优化方法，用于优化多个（无需凸的）函数之和。

最优化理论的前置概念

非线性规划依赖下列有关函数的若干定义：

• 函数$f$（定义在集合$D$上）的图像，是所有参数$x$与相应取值$f(x)$组成的二元组的集合：

$\mathrm {Graph} (f)=\{(x,f(x)):x\in D\}.$

• 实值函数$f$的盖图是图像上方的点的集合：

正弦函数并非凸函数。

$\mathrm {Epi} (f)=\{(x,u):f(x)\leq u\}.$

• 实值函数称为凸函数，意思是其盖图为凸集。

举例，二次函数$f:x\mapsto x^{2}$为凸，而绝对值函数$g:x\mapsto |x|$亦然，但正弦函数$\sin$（如图）则不然，因为在区间$(0,\pi )$的盖图非凸（而有向上的凹陷）。

加性优化问题

许多优化问题中，目标函数$f$可分离变数（可分），即$f$是多个函数之和，而各个函数的参数不同，如：

$f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{n}f_{n}(x_{n}).$

又例如，线性规划问题就可分离变数。考虑一个可分问题，及一个最优解

${\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})_{\mathrm {min} },$

在该点取到最小值$f({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} })$。对此可分问题，同时考虑其“凸化问题”的最优解，即将每个求和项$f_{n}$的图像换成其凸包。此种最优解，会是凸化问题的某点列$({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))_{j=1}^{\infty }$的极限，其中

$({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))\in \sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (\mathrm {Graph} (f_{n})).$

当然，因为此点是$N$个图像凸包的点之和，由沙普利-福克曼引理，就可以写成原图像的点与少数图像凸包的点之和。

以上分析，1974年由埃科兰德发表，以解释为何可分问题有许多项时，即使各项非凸，总问题仍看似凸。对非线性最小值问题而言，对偶问题的解，不一定就是原问题的解（但若已知原问题为凸，且满足特定条件，则两者的的最优解相等），但是，1973年，青年数学家克劳德·勒马雷沙尔诧异，对已知非凸的问题使用凸问题的方法，竟然也成功。勒马雷沙尔的问题，正是上段加性可分离变数的形式，而每个和项皆非凸函数，但对偶问题的解，仍近似原问题的最优解。埃科兰德的分析说明，“大而可分”的最小值问题，即使各和项有凹陷，仍可运用凸优化的方法。埃科兰德及其后的作者主张，因为变数可以加性分离，所得的总问题近似凸。该等著作以沙普利-福克曼引理为关键一步。沙普利-福克曼引理促使学者将凸优化方法，应用到目标函数为多个函数之和的情况。

概率与测度论

凸集常与概率论一同研究。卡拉西奥多里定理说明，$d$维空间的（非空）子集$Q$凸包中的点，是取值于$Q$的简单随机向量的期望值，而所谓简单，意思是仅在不多于$d+1$个点处有非零概率。所以，对非空集$Q$，取值自$Q$的简单随机向量组成的集合，等于$Q$的凸包。由此便可在概率论中，套用沙普利-福克曼-斯塔的结果。反之，藉期望值与凸包之间的联系，概率论亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的结果。沙普利-福克曼-斯塔的结果，广泛用于随机集的概率论，例如证明随机集的大数定律、中央极限定理、大离差原理。要证明前列概率极限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的结果，来避免假设随机集为凸。

概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理还可以应用到非概率的测度论，如体积或向量测度的理论。沙普利-福克曼引理可以加强布伦-闵可夫斯基不等式。该不等式断言，闵氏和的体积，相较于各和项的体积不能太大，即闵氏和的体积有上界，以各和项的体积的表示。欧氏空间子集的体积，此处定义为其勒贝格测度。

高等测度论中，沙普利-福克曼引理适用于证明李亚普诺夫定理，即向量测度的值域为凸。值域（或像集）是函数所有可能取值的集合，而向量测度则将测度推广到允许取向量值。例如，若某测度空间有两种概率测度$p_{1}$和$p_{2}$，则可定义一个向量测度$(p_{1},p_{2})$，是对每个事件$\omega$，将其两个概率结合为一个二元组，即

$(p_{1},p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega )).$

李亚普诺夫定理在经济学、(砰砰)控制论、统计理论皆有应用。李亚普诺夫定理是沙普利-福克曼引理的连续版，而沙普利-福克曼引理是李亚普诺夫定理的离散类比。

参考文献

• Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好与近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [经济学201B: 经济理论（课堂讲义）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-10） （英语）. 
• Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. General competitive analysis [一般竞争分析]. Advanced Textbooks in Economics 12 San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. Mathematical Economics Texts 6之重印版. Amsterdam: North-Holland. 1980 [1971]. ISBN 0-444-85497-5. MR 0439057 （英语）. 
• Artstein, Zvi. Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points [离散与连续砰砰及面空间，又或：找极值点]. SIAM Review. 1980, 22 (2): 172–185. JSTOR 2029960. MR 0564562. doi:10.1137/1022026 （英语）. 
• Carter, Michael. Foundations of mathematical economics [数理经济学基础]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 2001: xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841. (作者网站有习题题解). （原始内容存档于15 September 2006） （英语）. 
• Diewert, W. E. 12 Duality approaches to microeconomic theory [第12章：微观经济学的对偶进路]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (编). Handbook of mathematical economics, Volume II [数理经济学手册・卷二]. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1982: 535–599 [2021-08-31]. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 0648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4. （原始内容存档于2012-12-10） （英语）. 
• Ekeland, Ivar. Appendix I: An a priori estimate in convex programming [附录一：凸规划的先验估计]. Ekeland, Ivar; Temam, Roger (编). Convex analysis and variational problems [凸分析与变分问题]. Classics in Applied Mathematics 28 Corrected reprinting of the North-Holland. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 1999: 357–373 [1976]. ISBN 0-89871-450-8. MR 1727362 （英语）. 
• Green, Jerry; Heller, Walter P. 1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics [第1章：数学分析与凸性，及在经济学之应用]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (编). Handbook of mathematical economics, Volume I. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1981: 15–52. ISBN 0-444-86126-2. MR 0634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9 （英语）. 
• Guesnerie, Roger. First-best allocation of resources with nonconvexities in production [生产非凸的资源之最优分配]. Cornet, Bernard; Tulkens, Henry (编). Contributions to Operations Research and Economics: The twentieth anniversary of CORE (Papers from the symposium held in Louvain-la-Neuve, January 1987) [运筹学与经济学投稿：二十周年（[[新鲁汶]]1987年举办讨论会的论文集）]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 1989: 99–143. ISBN 0-262-03149-3. MR 1104662 （英语）. 
• Howe, Roger. On the tendency toward convexity of the vector sum of sets [论集合的向量和趋向凸] (PDF) (报告) 538. New Haven, Conn.: Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University. 3 November 1979 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-07） （英语）. 
• Mas-Colell, A. Non-convexity [非凸性]. Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (编). The new Palgrave: A dictionary of economics [新帕尔格雷夫经济学词典] first. Palgrave Macmillan. 1987: 653–661 [2021-08-31]. ISBN 9780333786765. doi:10.1057/9780230226203.3173. (Mas-Colell个人主页的PDF档). （原始内容存档于2017-11-21） （英语）. 
• Rockafellar, R. Tyrrell. Convex analysis [凸分析]. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, N.J.: Princeton University Press. 1997: xviii+451. ISBN 0-691-01586-4. MR 1451876 （英语）.  1970年(MR274683) Princeton Mathematical Series 28的重印版。
• Schneider, Rolf. Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory [凸体：布伦-闵可夫斯基理论]. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 44. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1993: xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521 （英语）. 
• Starr, Ross M. Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences (Appendix 2: The Shapley–Folkman theorem, pp. 35–37) [有非凸偏好的市场的准均衡（附录2:沙普利-福克曼定理，pp. 35–37）]. Econometrica. 1969, 37 (1): 25–38. JSTOR 1909201. doi:10.2307/1909201 （英语）. 
• Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N (new chapters 22 and 25–26 in (2011) second ed.) [第8章：R^N中的凸集、分离定理、非凸集（及2011年第二版新增的第22、25、26诸章）]. General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理论：导论] First. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1997: xxiii+250. ISBN 0-521-56473-5. MR 1462618 （英语）. 
• Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (编). The new Palgrave dictionary of economics [新帕尔格雷夫经济学词典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始内容存档于2017-03-16） （英语）. 

外部链结

• Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好与近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [经济学201B: 经济理论（课堂讲义）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-10）. 
• Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in R^N (Section 8.2.3 Measuring non-convexity, the Shapley–Folkman theorem) [第8章：R^N中的凸集、分离定理、非凸集（第8.2.3小节：量度非凸性、沙普利-福克曼定理）] (PDF). General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理论：导论]. September 2009: 3–6 [2021-08-31]. ISBN 9781139174749. MR 1462618. doi:10.1017/CBO9781139174749. （第二版的书稿，来自斯塔在加州大学圣地亚哥分校经济学系的课程）. （原始内容存档 (PDF)于2010-07-01） （英语）. 
• Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (编). The new Palgrave dictionary of economics [新帕尔格雷夫经济学词典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始内容存档于2017-03-16） （英语）.