模的支撑

在 交换代数 中, 一个交换环上的  支撑是一个集合,它包含所有 上的理想 [1],使得.  通常可以记为 . 由定义,支撑是 的子集。

性质

  •   当且仅当它的支撑是空集。
  •   是一个   模正合序列. 那么
     

注意这里的并集不一定是不相交的.

  • 如果   是子模   的和, 那么

 

  • 如果   是一个有限生成   模,那么   是的所有的包含   的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在   的 Zariski拓扑结构 中是闭的.
  • 如果   都是有限生成  -模,那么
     
  • 如果   是一个有限生成模并且    的理想,那么   是包含   素理想的集合. 这也就是

 .

准凝聚层的支撑

如果  概形 X上的一个 准凝聚层, 层 的支撑是点集 xX 使得 stalk  x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机. 模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集. [2]


如果   是一个  -模, 那么   作为模的支撑等价于   诱导的仿射概形   上的准凝聚层   的支撑. 另外, 如果   是概形   的一个仿射覆盖, 那么   作为层的支撑等价于每个  -模   作为模的支撑的并集[3].


由正合序列   对于一个在光滑射影簇   中的除子 D, 如果我们令开集   则有  , 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里  .

例子

由前面已知, 一个素理想   在模   的支撑里, 当且仅当它包含   的消灭元[4]. 来看一个例子

 

作为模的消灭元是理想  . 这意味着   也就是说它的支撑是多项式   的零点.

现在来看短正合序列   我们可以认为理想   的支撑等价于   也就是多项式零点的补集.

在specialization[来源请求]意义下, 模的支撑总是闭的.

现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式 , 使得理想   是完全交, 那么张量积的性质告诉我们  

相关参考


参考文献

  1. ^ EGA 0I, 1.7.1.
  2. ^ The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01B4. 2017 [2018-12-20]. (原始内容存档于2020-11-30). 
  3. ^ The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01AS. 2017 [2018-12-22]. (原始内容存档于2020-04-07). 
  4. ^ Eisenbud, David. Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry. corollary 2.7. : 67.