柯西函数方程

柯西函数方程是以下的函数方程

此方程的解被称为加性函数

方程的解

有理数的范围中,可以用简单的代数得到唯一一类的解,表示为 ,其中 任意给定的有理数。

实数中,这个方程仍然有这一类解,然而存在著其他非常复杂的解,函数 f 经常被外加条件以排除那些复杂的解。例如:

  • f连续的 (由柯西于1821年证明)。这个条件在1875年被达布弱化,证明 f 只需要在一点连续。
  • f 在任一个区间上是单调
  • f 在任一个区间上是有界

另一方面,如果函数 f 没有其他限制条件,那么满足方程的函数有无穷多个(假设选择公理成立)。这在1905年由乔治·哈梅尔英语Georg Hamel使用的概念证明。

希尔伯特的第五个问题是这个方程的推广。

存在实数 使得 的解称为柯西─哈默方程(英语:Cauchy-Hamel function(s))。在希尔伯特的第三个问题中,往高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量(英语:Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]

在有理数集下的证明

先设 ,得到:

 
 

再设 

 
 

反复设  、...、 ,可以得到

 ...(1)

 并代入(1)式得到:

 
或者 ...(2)

对于任意有理数 ,设 ,根据(1)、(2)两式可知:

 

上式又可改写为

 

 就可以得到在有理数下的唯一解。

其他解的性质

以下的证明将显示(若存在)线性函数以外的解,该解是相当病态的函数。我们将证明这个函数f所对应的图形  稠密,亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点,我们将从这个定义著手证明。

不失一般性,假设解f满足 ,且能找到实数 满足 ,同时设 

任意给定一个圆,其内部必能找到一个小圆以点 为圆心,其中满足 。令实数 为半径的 倍,即半径为 

 ,存在一个有理数 满足:

 

类似地,存在一个有理数 使得:

 

设实数X,Y满足:

 
 

从原方程和以上的关系式可以得知:

 
 
 
 
 

由以上关系式可知 

 在指定的小圆内,

于是 在原本较大的圆内;

即在 中任意给定的圆内皆包含 图形的一点;

 的图形在 中稠密,得证。

另一方法:如f 不是线性函数,存在  独立。任取 ,  ,   是有理数序列的极限,  f 的图形的聚点。

其他解的形式与证明

与有理数的情形使用相同的方式,可以证明线性解的证明在任意的集合 上也成立,其中 (表示所有有理数乘上 的积的集合,以下亦同)
我们可以透过这点找出函数方程的所有解。但这个方式极度地不可构造,而且是以选择公理为基础得到的。

在承认选择公理的前提下,在 上存在一个 基底,也就是这样的集合:  ,使得对于任何实数 ,存在唯一的有限集合   以及唯一对应的   个有理数 ,满足:

 

设想函数方程在实数集的子集 上成立,即满足 ,其中    的有理数倍。 运用前面推导的结论,得到对任意实数满足方程的函数:

 

对于所有 ,以上  是函数方程的解。其中  为线性的充要条件是  是常数函数。

参考资料

  1. ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

外部链接