普朗歇尔定理

普朗歇尔定理（又称帕塞瓦尔-普朗歇尔恒等式 ）是调和分析的重要定理，由米歇尔·普朗歇尔于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果$f(x)$是实数线上的函数，并且${\widehat {f}}(\xi )$是它的频谱，那么

$$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi ,$$或者写成$L^{2}$范数:$$||f(x)||_{L^{2}}=||{\hat {f}}(\xi )||_{L^{2}}$$

数学上更严格的描述是，令函数$f$同时属于两个L ^p空间$L^{1}(\mathbb {R} )$和$L^{2}(\mathbb {R} )$ ，那么它的傅里叶变换${\hat {f}}$属于$L^{2}(\mathbb {R} )$， 且为$L^{2}(\mathbb {R} )$中的等距变换。

这代表限制在$L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$上的傅里叶变换有一个唯一的等距扩张$L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$，有时候这个扩张也被称为普朗歇尔变换。此变换同时也是幺正的，透过此变换，我们便可以好好的在平方可积函数上讨论傅里叶变换。

普朗歇尔定理可以被推广到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上，若是满足一些其他的假设，普朗歇尔定理有另一个版本在非交换局部紧致群上成立，更多细节可以参考非交换调和分析。

由于在$L^{2}(\mathbb {R} )$上内积与范数是相容的，我们也可以把普朗歇尔定理应用到$L^{2}(\mathbb {R} )$的内积上。也就是说，如果$f(x)$、$g(x)$是两个在$L^{2}(\mathbb {R} )$内的函数，${\mathcal {P}}$表示普朗歇尔变换，则

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$

而如果$f(x)$和$g(x)$属于$L^{1}(\mathbb {R} )$，有$$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$以及$$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$所以

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$$

参见

• 应用于球带函数的普朗歇尔定理

参考

• Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
• Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
• Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .

外部链接

• Plancherel's Theorem on Mathworld