施图姆定理

施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。

施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。

标准施图姆序列

我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列：

$X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.$

标准施图姆序列是把多项式长除法应用于$X$和它的导数$X_{1}=X'$时，所得到的中间结果的序列。

标准施图姆序列由以下公式计算：

${\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}$

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当$1\leq i<r$时，$\operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1$，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，$X_{r}$，就是$X$和它的导数的最大公因式。由于$X$没有重根，因此$X_{r}$是一个常数。于是，标准施图姆序列为：

$X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,$

表述

设$V_{\xi }$为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

$X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!$

其中$X$是不含重根的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数$a,b$，开区间$(a,b)$中的不同根的个数为$V_{a}-V_{b}$。

应用

通过恰当选择$a,b$，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为$a_{i}$的多项式的所有实根都在区间$[-M,M]$内，其中：

$M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!$

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的正数$x$，以下多项式的符号

$P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!$

是$\operatorname {sgn}(a_{n})$，而$\operatorname {sgn}(P(-x))$则是$\operatorname {sgn}((-1)^{n}a_{n})$。

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如$\xi$）是几重根。确实，假设我们知道$\xi$在$(a,b)$内，且$V_{a}-V_{b}=1$。那么，$\xi$是$m$重根正好当$\xi$是$X_{r}$的$m-1$重根时（这是因为它是$X$和它的导数的最大公因式）。

一般的施图姆序列

$[a,b]$ 上的施图姆序列，是实系数多项式 $X$ 的一个有限序列$X_{0},X_{1},\ldots ,X_{r}$，使得：

1. $X_{r}$在 $[a,b]$ 上没有根
2. $X_{0}(a)X_{0}(b)\neq 0$
3. 如果对于$\xi \in [a,b],1\leq i\leq r-1,X_{i}(\xi )=0$，那么$X_{i-1}(\xi )X_{i+1}(\xi )<0$
4. 若对于$\xi \in [a,b],X(\xi )=0$ ,则存在$\delta >0$,使得 $c\in (\xi -\delta ,\xi )$时，$X_{0}(c)X_{1}(c)<0$ 而 $c\in (\xi ,\xi +\delta )$ 时 $X_{0}(c)X_{1}(c)>0$

我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。

相关条目

• 劳斯–赫尔维茨稳定性判据
• 笛卡儿符号法则

参考资料

• D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部链接

• 施图姆定理的C代码