扩展图
在组合数学中,扩展图(英语:Expander graph)是一种具有强连通性质的稀疏图,可用边扩展性、顶点扩展性或图谱扩展性三种方式来量化。扩展图的构造问题引导了多个数学分支上的研究,并且在计算复杂性理论、计算机网络设计和编码理论上有诸多应用[1]。
定义
对于有限、无向、连通的多重图,扩展性是一种能够衡量其连通强弱的指标。直观而言,扩展性较强意味着图中任何“不太大”的顶点集均有较大的边界,也就是说集合内外的交互很强。
连通图的扩展性有的弱,有的强。例如道路的扩展性很弱,而完全图的扩展性最强。可以看出,稠密图比稀疏图更“容易”具备强扩展性。但人们希望构造一类鱼与熊掌兼得的图:既能保持稀疏性,又具备很强的扩展性。具备这样“矛盾”属性的图就是一张扩展图;矛盾对立越深,扩展图越优良。
用数学语言表达如下:若一张图图有 个顶点、最大度为 、扩展性为 ,那么就称它为 -扩展图。 越小(即图越稀疏)且 越大(即扩展性越强),则扩展图的性质越优异。
作为扩展图定义中的关键参数之一,“扩展性”的精确概念可用不同方式来量化。下文将讨论边扩展性、顶点扩展性和谱扩展性三种量化方式。
边扩展性
包含 个顶点的图 的边扩展性 定义为
其中 为子集 的边界。注意在此定义中,最小值取于所有非空且大小不超过 的顶点集[2]。
顶点扩展性
图 的顶点扩展性 定义为
此处 是集合 的外边缘[3]。顶点扩展性有一种变体,称作“唯一邻点扩展性”(unique neighbor expansion),在这里 [4]。
谱扩展性
当 是d-正则图时,可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性,称作谱扩展性。具体而言,设 是图 的邻接矩阵,其中 记录了顶点 之间的边数[5]。因为 是实对称矩阵,根据谱定理知道它有 个实特征值 。可以证明它们都落在区间 内。
由于 是正则图,所以 上的均匀分布 是矩阵 的特征向量,对应特征值 ,即 。图 的谱间距(spectral gap)定义为 ,它可以用作扩展性的量度。
三种扩展性度量之间的关系
上面定义的三种量化方式虽然形式上有差别,但在本质上相互联系。对于d-正则图,我们有
因此,当度是常数时,前两种量化方式并无实质区别。
Cheeger不等式
对于d-正则图,Dodziuk[6]和Alon、Milman[7] 证明了
这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。
注解
- ^ Hoory, Linial & Widgerson (2006)
- ^ Definition 2.1 in Hoory, Linial & Widgerson (2006)
- ^ Bobkov, Houdré & Tetali (2000)
- ^ Alon & Capalbo (2002)
- ^ cf. Section 2.3 in Hoory, Linial & Wigderson (2006)
- ^ Dodziuk 1984.
- ^ Alon & Spencer 2011.
参考来源
教科书和文献综述
- Alon, N.; Spencer, Joel H. 9.2. Eigenvalues and Expanders. The Probabilistic Method 3rd. John Wiley & Sons. 2011.
- Chung, Fan R. K., Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 92, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0315-8
- Davidoff, Guiliana; Sarnak, Peter; Valette, Alain, Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs, LMS student texts 55, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53143-8
- Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Widgerson, Avi, Expander graphs and their applications (PDF), Bulletin (New series) of the American Mathematical Society, 2006, 43 (4): 439–561 [2017-08-16], doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8, (原始内容存档 (PDF)于2021-01-26)
- Krebs, Mike; Shaheen, Anthony, Expander families and Cayley graphs: A beginner's guide, Oxford University Press, 2011, ISBN 0-19-976711-4
研究论文
- Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., An O(n log n) sorting network, Proceedings of the 15th Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 1–9, 1983, ISBN 0-89791-099-0, doi:10.1145/800061.808726
- Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, 1987: 132–140, ISBN 0-89791-221-7, doi:10.1145/28395.28410
- Alon, N.; Capalbo, M. Explicit unique-neighbor expanders. The 43rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 2002. Proceedings. 2002: 73. ISBN 0-7695-1822-2. doi:10.1109/SFCS.2002.1181884.
- Bobkov, S.; Houdré, C.; Tetali, P., λ∞, vertex isoperimetry and concentration, Combinatorica, 2000, 20 (2): 153–172, doi:10.1007/s004930070018.
- Dinur, Irit, The PCP theorem by gap amplification, Journal of the ACM, 2007, 54 (3): 12–es, doi:10.1145/1236457.1236459.
- Gillman, D., A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs, SIAM Journal on Computing (Society for Industrial and Applied Mathematics), 1998, 27 (4,): 1203–1220, doi:10.1137/S0097539794268765
- Goldreich, Oded, Basic Facts about Expander Graphs, Studies in Complexity and Cryptography, 2011: 451–464, doi:10.1007/978-3-642-22670-0_30
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- Yehudayoff, Amir, Proving expansion in three steps, ACM SIGACT News, 2012, 43 (3): 67–84, doi:10.1145/2421096.2421115
外部链接
- Brief introduction in Notices of the American Mathematical Society (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Introductory paper by Michael Nielsen (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Lecture notes from a course on expanders (by Nati Linial and Avi Wigderson)
- Lecture notes from a course on expanders (by Prahladh Harsha) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Definition and application of spectral gap