截角截半大十二面体
在几何学中，截角截半大十二面体又称为星形截角截半大十二面体是一种由30个正方形、12个十角星和12个正十边形组成的星形均匀多面体。
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| 类别 | 星形均匀多面体 | ||
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| 对偶多面体 | 内侧双二方三十面体 | ||
| 识别 | |||
| 名称 | 截角截半大十二面体 | ||
| 参考索引 | U59, C75, W98 | ||
| 鲍尔斯缩写 | quitdid | ||
| 数学表示法 | |||
| 考克斯特符号 |     | ||
| 施莱夫利符号 | t0,1,2{5/3,5} | ||
| 威佐夫符号 | 2 5 5/3 | | ||
| 性质 | |||
| 面 | 54 | ||
| 边 | 180 | ||
| 顶点 | 120 | ||
| 欧拉特征数 | F=54, E=180, V=120 （χ=-6） | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 30个正方形 12个十角星 12个正十边形[1] | ||
| 面的布局 | 30{4}+12{10}+12{10/3} | ||
| 顶点图 | 4.10/9.10/3 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Ih, [5,3], *532 | ||
| 特性 | |||
| 顶点正、非凸 | |||
| 图像 | |||
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命名
截角截半大十二面体（truncated dodecadodecahedron）一名称是由考克斯特、朗格·希金斯与米勒的论文《均匀多面体》中给出[2]，然而这个名称有歧义。截角截半大十二面体（truncated dodecadodecahedron）是指通过截角变换（truncated）的截半大十二面体（dodecadodecahedron），然而若直接将截半大十二面体套用截角变换并无法形成如施莱夫利符号计为t0,1,2{5/3,5}之立体中的那种十角星，仅能形成截角的五角星。
 截半大十二面体 |
 较浅的截角 截半大十二面体 |
 较深的截角 截半大十二面体 |
 星形截角 截半大十二面体 |
 五角星的截角（t{5/2}） 与星形截角（t{5/3}） |
而施莱夫利符号计为t0,1,2{5/3,5}之立体虽被考克斯特称为截角截半大十二面体（truncated dodecadodecahedron），而根据其论文的描述，其所套用之截角变换应为星形截角。[3]而温尼尔将其称为拟截角截半大十二面体（truncated dodecadodecahedron）[4]。考克斯特学者等人将截角截半大十二面体的发现归功于奥地利数学家约翰·皮奇于1881年发表的一篇论文上。[5][6]
性质
截角截半大十二面体由30个正方形、12个十角星和12个正十边形组成[1]，每个顶点都是1个十边形、1个十角星和1个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用(10,10/3,4)表示。[7]
分类
由于截角截半大十二面体的顶点图为不等边三角形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造，因此截角截半大十二面体是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角拟正多面体一共有五种，分别为立方截角立方八面体、星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体和大截角截半二十面体。[8]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。[9][10]
面的组成
截角截半大十二面体是一个五十四面体，在其54个面中，有30个面是正方形面、有12个面是十角星面以及12个面是正十边形面[11]。其中，十角星为施莱夫利符号计为{10/3}的十角星[12]，其中所述第二数字为绘制十角星时顶点间隔数。[13]在这种十角星中边相交的比例为：
尺寸
由于星形多面体有面自我相交的情形，因此其内部区域不易定义，因此体积亦不易定义，但要了解这种形状的尺寸也可以透过其边长与外接球半径来了解。若截角截半大十二面体的边长为单位长，则该截角截半大十二面体的外接球半径R为：[12]：
二面角
截角截半大十二面体有三种二面角，一个是正方形与十角星的交棱，其角度约为148.28度、一个是正方形与十边形的交棱，其角度约为58.28度以及十角星与十边形的交棱，其角度约为63.43度。[14]
正方形{4}与十角星{10/3}的交棱角度为[14]
正方形{4}与十边形{10}的交棱角度为[14]
十边形{10}与十角星{10/3}的交棱角度为[14]
作为凯莱图
截角截半大十二面体可以生成由交换前两个元素的五成员之多元组、在末四元素套用循环位移运算，2种群成员生成的在5个元素上对称之对称群的凯莱图。也就是说，截角截半大十二面体的120个顶点可以一对一地对应到5个物体的排列（5!）状态上。其交换方式为交换前2个元素或后四个元素循环交换，其造成的结果为每种排列状态都只有三种只能透过一次变换（前2个元素或后四个元素循环交换）达成的排列状态，可以理解为每个顶点都只有3个相邻元素，与截角截半大十二面体结构相同。[15]
参见
参考文献
- ^ 1.0 1.1 60. Quitdid, Polyhedron Category 5: Omnitruncates. polytope.net. [2019-10-05]. （原始内容存档于2018-07-02）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1954-05-13, 246 (916): 401–450 [2020-05-04]. ISSN 0080-4614. doi:10.1098/rsta.1954.0003. （原始内容存档于2020-09-18） （英语）.
- ^ Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954),[2] quasitruncation, p. 411; Fig. 114, Plate IV.
- ^ Wenninger, Magnus J., 98 Quasitruncated dodecahedron, Polyhedron Models, Cambridge University Press: 152–153, 1971.
- ^ Pitsch, Johann, Über halbreguläre Sternpolyeder, Zeitschrift für das Realschulwesen, 1881, 6: 9–24, 72–89, 216
- ^ Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954),[2] the truncated dodecadodecahedron, no. XII on p.86.
- ^ Augmenting the stellatruncated dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2019-10-05]. （原始内容存档于2010-01-29）.
- ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-19]. （原始内容存档于2022-02-14）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
- ^ Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216.
- ^ Robert M. Peffer. U59 Truncated Dodecadodecahedron. robssandbox.com. 2019-02-13 [2019-10-09].
- ^ 12.0 12.1 Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Barnes, John, Gems of Geometry, Springer: 28–29, 2012 [2019-10-09], ISBN 9783642309649, （原始内容存档于2019-06-08）.
- ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 Klitzing, Richard. quitdid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-10-05]. （原始内容存档于2016-03-26）.
- ^ David Eppstein. The Topology of Bendless Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing 5417. Springer Berlin Heidelberg. 2009: 78–89 [2020-05-04]. ISBN 9783642002182. doi:10.1007/978-3-642-00219-9_9.