广义动量

拉格朗日力学与哈密顿力学时常涉及广义动量。这是因为采用广义坐标有许多优点。而广义动量是正则共轭于广义坐标的物理量，又称为共轭动量。

假设一个物理系统的广义坐标是 $(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ ，则广义速度为 $({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!$ 。表示广义动量为 $(p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ 。定义广义动量为拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 随广义速度的导数：

$p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!$ ；

广义动量守恒定律

如果一个物理系统是单演系统与完整系统，那么，哈密顿原理保证拉格朗日方程式的成立：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!$ 。

假若，${\mathcal {L}}\,\!$ 不显含广义坐标 $q_{k}\,\!$ ：

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!$ ，

则广义动量 $p_{k}\,\!$ 是常数。在此种状况，坐标 $q_{k}\,\!$ 称为循环坐标，或可略坐标。举例而言，如果我们用圆柱坐标 $(r,\ \theta ,\ h)\,\!$ 来描述一个粒子的运动，而 ${\mathcal {L}}\,\!$ 与 $\theta \,\!$ 无关，则广义动量是守恒的角动量。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 广义力
• 正则变换