坡印廷向量

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

坡印廷向量（英语：Poynting vector），亦称能流密度矢量，其方向为电磁能传递方向，大小为能流密度（单位面积的能量传输速率）。坡印廷矢量的SI单位是瓦特每平方米（W/m²）。它是以其发现者约翰·亨利·坡印廷来命名的。奥利弗·黑维塞和尼科莱·乌诺夫亦独立发现所谓的坡印廷向量。

约翰·亨利·坡印廷

定义

在坡印廷的原始论文和许多教科书中，它通常记作 S 或 N，定义为

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

其中

• E 是电场强度；
• H 是磁场强度。

这种形式通常被称为亚伯拉罕形式。 偶尔也用电场强度 E 和磁感应强度 B 作为另一种定义。甚至可以把电位移矢量 D 和磁感应强度 B 结合起来得到的坡印廷矢量的闵可夫斯基形式，或使用 D 与 H 构成另一种形式。选用哪种形式一直是有争议的：罗伯特·费福（Robert Pfeifer）等人总结并一定程度上解决了亚伯拉罕与闵可夫斯基形式支持者之间长达一个世纪的争议。

坡印亭矢量表示的是电磁能量的能流矢量的特殊情况。然而，空间内任何形式的能量都有其移动方向，也有密度，所以其他形式的能量也可以定义能流矢量，例如机械能。1874年由尼科莱·乌诺夫发现的乌诺夫–坡印亭矢量以完全广义的观点描述了液体和弹性介质中的能流。

说明

一个由电池（V）和电阻（R）组成的直流电路，用（S, 蓝）表示在周围空间中的坡印廷向量的方向，产生其的电场为（E, 红），磁场为（H, 绿）。在电池周围区域坡印廷矢量方向向外，说明流出电池的电能进入了电磁场中；在电阻周围区域该矢量方向向内，说明场的能量流入电阻中。在电池与电阻之间的任何平面 P 上，能流密度朝向电阻的方向。

电流方向改变时，电场与磁场方向同时改变，能量场方向不变，因此交流电电流方向改变不会影响对负载作功。

根据能量守恒所得的坡印亭定理中出现了坡印廷向量（参见此条目中定理和向量的推导）：

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E}$

其中 J_f 为自由电荷的电流密度而 u 为线性、非色散材料的电磁场能量密度，即

$u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)$

其中

• E 是电场强度；
• D 是电位移矢量；
• B 是磁感应强度；
• H 是磁场强度。

右面的第一项表示流入一个小体积的净电磁能流，而第二项表示自由电流所抵销的功部分（这些功从电磁能转换成耗散能、热）。在此定义中，在此项中不包括束缚电流，但束缚电流会影响 S 和 u。

对于线性、非色散、各向同性（为了方便分析）材料，本构关系写作

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$，$\mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B}$

的时候。其中

• ε 为材料的电容率；
• μ 为材料的磁导率。

原则上，这把此形式的坡印廷定理限制于描述场在真空中的行为，或在线性、非色散材料中的行为。坡印廷定理可以延伸到色散材料中，但必须在方程式里添加更多项。

坡印廷矢量通常被解释为能流，但对于某些案例可能会导致悖论般的结果。上述坡印廷定理描述了更一般的情形，指出坡印廷矢量的散度与能量密度的改变有关，这就是说它只能描述空间中能量密度的改变，描述不了能流，换句话说，坡印廷矢量只精确地定义至任意场的旋度。在下一节会有更多相关说明。

增添场旋度的不变性

坡印廷定理中，坡印廷向量以散度∇ ⋅ S形式出现，因此可在坡印廷向量S中任意增添场F的旋度而不对其造成影响：

$\mathbf {S} '=\mathbf {S} +\nabla \times \mathbf {F} \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf {S} '=\nabla \cdot \mathbf {S}$，

此处应用到向量关系式：任意场F之旋度项的散度为零，即∇ ⋅ (∇ × F) = 0（细节参见向量恒等式列表）。

此项性质用于类静电学范畴，举例来说，可以用来描述压电材料中与波动相关的能量传递。在此情形，磁场可以忽略，局部的能量通量主要是由电场项来贡献。以通则来说，我们可用下式来表示坡印廷向量的散度：

$\nabla \cdot \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right)=\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H}$

而马克士威方程组第四条方程式写道：

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{\mathrm {f} }} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$，

其中J_f是自由电荷所产生的电流密度。

在介电材料中，方程式变为

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。

将前述两项结果结合可得如下类静电学散度：

$\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。

一个新的“无磁场贡献”的坡印廷向量可得到相同的散度结果：

$\mathbf {S'} =-V{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

其中V为静电势。

平行板电容器的案例中，相互垂直的S与S′两者皆导致相同的整体能量平衡，此例子由Bondar与Bastien指出。

一般普遍认为：采用异于古典坡印廷向量的其他向量，会导致相对论中对电磁场描述的矛盾；因为相对论中，能量与动量是以应力-能量张量做局域定义的。然而上方的转换却与量子电动力学相符，其中光子没有明确定义的轨迹，而只有放射与吸收的机率。

微观领域的形式

在某些情况下，可以更合适地定义坡印亭矢量为

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$

其中

• μ₀ 是真空磁导率；
• E 是电场强度；
• B 是磁感应强度。

可以直接从以总电荷和总电流为变量的麦克斯韦方程组和洛伦兹力定律导出这种形式。

对应的坡印亭定理的形式为

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

其中 J 为全电流密度，而能量密度 u 为

$u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)$

其中 ε₀ 是真空电容率。

坡印廷向量的两种定义在真空或非磁性材料中等价，其中B = μ₀H。在其他的情形，两者的差异在于S = 1/μ₀ E × B，而对应的u是纯辐射性的，因为耗散项−J ⋅ E包括了总电流，而以H场所做的定义涵盖了约束电流的贡献，因而缺乏耗散项。

推导S = 1/μ₀ E × B的过程中只需要微观场E和B，关于材料性质的假设则可回避掉。是故以此方式定义的坡印廷向量与坡印廷定理是普遍成立的，不论是在真空中或各式各样的材料中。

时间平均坡印廷矢量

对于时间周期正弦电磁场，单位时间内的平均潮流（功率流）往往更有用处，可以通过如下的电场和磁场的解析表示来求得（下标“a”指的是解析信号，带下划线的下标“m”指复振幅，而上标“*”指共轭复数）：

${\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}$

关于时间的平均为

$\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t$

第二项为正弦曲线

$\operatorname {Re} \!\left(e^{2j\omega t}\right)=\cos(2\omega t)$

其平均为零，于是得到

$\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \times \mathbf {H_{\mathrm {a} }^{*}} \right)$

例子与应用

同轴电缆

同轴电缆中的坡印廷向量，以红色表示。

举例而言，一条同轴电缆的介电绝缘体之中的坡印廷向量与电缆的轴线几乎平行（假设电缆外无场，且包含直流电在内的波长远长于电缆直径）。输送到负载的电能完全是流经导体之间的介电质。极少量的能量是经导体流动，因为此处的电场强度接近于零。在导体内的能量流是径向的，成为导体电阻发热的能量散失。无能量流至电缆外，因为内层导体与外层导体所产生的磁场彼此相抵消。

电阻耗散

若导体有不小的电阻，则在导体表面附近，坡印廷向量则会出现歪斜而接触到导体。当坡印廷向量伸入导体时，其被弯折到几乎与表面垂直的方向。此为斯涅尔定律以及导体内部甚慢的光速所造成的结果。关于导体内部光速的定义与计算，参见文献Hayt第402页。

在导体内部，坡印廷向量代表了能量从电磁场流入电缆，产生了电阻的焦耳发热。从斯涅尔定律起始的推导，参见文献Reitz第454页。

平面波

线偏振

圆偏振

椭圆偏振

电场向量随著时间（z-轴）流易而演变。电场向量以黑色粗线表示，它的x-分量、y-分量分别以红色细线、蓝色细线表示。在基部的图样是向量的矢端随著时间流易对于xy-平面的投射。

呈线偏振而以固定频率传播的电磁正弦平面波，其坡印廷向量永远指向传播方向，而坡印廷向量的大小会不停振荡。此大小的时间均值为：

$\langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}$

其中E_m是电场大小，c是自由空间中的光速。时间均值则称为辐照度，在辐射度量学中标记为E_e；在其他领域又称为强度，标记为 I。

数学推导

平面电磁波中，E与B以及波传递方向总是互相垂直。此外E大小与B大小有如下关系式：

$B_{\mathrm {m} }={\frac {1}{\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }$

与时间及空间的相依性为

$E(\mathbf {r} ,t)=E_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

$B(\mathbf {r} ,t)=B_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

其中ω为波的角频率，而k为波矢。

因此与时空变量相依的坡印廷向量为：

$S(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}E_{\mathrm {m} }B_{\mathrm {m} }\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )={\frac {1}{\mu _{0}c}}E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\mathrm {c} E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$。

在最后一步骤中，使用到等式ε₀μ₀ = 1/c²。既然cos²(ωt − k ⋅ r)的时间平均与空间平均是1/2，则

$\langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}$。

只要运用电场与磁场分布的资料，即可计算出坡印廷向量；这样的资料包括了特殊物理情形的边界条件，比如偶极天线的例子。也因此E场与H场的分布构成电磁学分析上的主体，而坡印廷向量则成了有价值的副产物。

辐射压

电磁场的线动量密度为S/c²，此处S为坡印廷向量的大小，而c是自由空间中的光速。电磁波对一目标物表面所产生的辐射压则为：

$P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}$。

静场

静场中的坡印廷向量，其中E为电场，H为磁场，而S为坡印廷向量。

在静态场考虑坡印亭矢量显示出了麦克斯韦方程组的相对论性，并让我们更加理解了洛伦兹力 q(v × B) 的磁分量。例如，考虑所附图片，它描述了在一个圆柱形电容器的坡印廷矢量，位于在由永磁体产生的一个磁场（指向纸内）。虽然只有静态电场和磁场，计算坡印廷矢量得出了顺时针方向循环流动的没有起始或结束的电磁能量。

虽然循环的能流看似是无意义或矛盾的，它却证明了保持动量守恒是绝对有必要的。动量密度与能流密度成正比，所以能量的循环流动包含着角动量。 这是因为洛伦兹力的磁分量存在时，电容器放电。在放电过程中，能流中包含的角动量随着转移到穿过磁场的放电电流的电荷上而耗尽。

参考文献

书目

• Harrington, Roger F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. McGraw-Hill. 1961. 
• Hayt, William. Engineering Electromagnetics 4th. McGraw-Hill. 1981. ISBN 0-07-027395-2. 
• Reitz, John R.; Milford, Frederick J.; Christy, Robert W. Foundations of Electromagnetic Theory 4th. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-52624-7. 

延伸阅读

• "Poynting Vector" from ScienceWorld (A Wolfram Web Resource)（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Eric W. Weisstein
• Richard Becker & Sauter, F. Electromagnetic fields and interactions. New York: Dover. 1964 [2015-05-21]. ISBN 0-486-64290-9. （原始内容存档于2009-03-06）. 
• Joseph Edminister. Schaum's outline of theory and problems of electromagnetics. New York: McGraw-Hill Professional. 1995: 225. ISBN 0-07-021234-1.