向量组的秩

定义

一般定义

向量组的秩即为向量组中的任一最大线性无关组所含有的向量个数.

维数定义

在向量空间$\mathbb {R}$ⁿ中任意向量组构成的集合$\{X_{1},X_{2},...,X_{r}\}$（可能是无限的），那么该与该向量组对应的向量子空间$<X_{1},X_{2},...,X_{r}>$的维数$r$≤$n$那么这个$n$就叫该向量组的秩.

举例

举例来说，设有一向量组$S:\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\}$，若存在r个向量$a_{1},a_{2},...,a_{r}\in S$，且r个向量为向量组$S$的最大线性无关组，则此最大线性无关组的向量个数r，即为向量组$S$的秩.

假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为$c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式$x_{1}c_{i_{1}}+x_{2}c_{i_{2}}+\cdots +x_{r}c_{i_{r}}=0$只有零解.另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩$\geq r$.于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然$\geq$列秩.同样可证矩阵A的列秩$\geq$行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.