同伦（英语：Homotopic[注 1]）在数学和拓扑学上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量。
图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。
事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱。
定义
两个将环面映射到R3的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。
给定两个拓扑空间 
和 
。考虑两个连续函数 
，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 ![{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6eaaf371098cbea149a9d014a7a5d97bf51ac9)
使得：
则称
是 
之间的一个同伦[1]:183。
如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。
另一种观点是：对每个
，函数 
定义一条连接 
与 
的路径：
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R3。f，g 是从环面到
R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。
性质
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：
如果 f1, g1 : X → Y 是同伦的，并且 f2, g2 : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f2 ∘ f1 与 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同伦的。
例子
例一：取 
, 
, 
及 
。则
与 
透过下述函数在 中同伦。
- （注意到此例子不依赖于变数
，通常并非如此。）
- 注：“在
中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将 代为子空间
，则虽然 与 仍取值在
，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
例二：取![{\displaystyle X=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f82953ec31abffd4534cf62f2a095afa901c0)
,
,
及 
。则 描绘一个以原点为圆心的单位圆； 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦：
- 几何上来看，对每个值
，函数
描绘一个以原点为圆心，半径 
的圆。
相对同伦
为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设
是连续函数，固定子空间 
；若存在前述同伦映射 ![{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ca2cdbab407ef356b8c3b1ea0a39d6f1965fd)
，满足：
则称 
相对于 
同伦。若取 
，则回到原先的同伦定义。
空间的同伦等价
给定两个拓扑空间
与 
，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射
与
，使得：
同伦到 的恒等映射 
。
同伦到 的恒等映射 
。
同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：
例三：
- 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到
，即去掉一点的平面。
- 线段
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。
同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。
同痕
同痕（Isotopy）是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数
和 
是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。
定义如此： 与 被称为同痕的，若且唯若存在连续映射 使之满足：
-
-
- 对所有
![{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181fb92391d7ecbc8467b084d915c2877e36af52)
，映射 是个嵌入映射。
同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。
注释
参考
参见
