合成列

在抽象代数中，合成列是藉著将代数对象（如群、模等等）拆解为简单的成份，以萃取不变量的方式之一。以模为例，一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次，考虑一组过滤 $\{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M$，使每个子商 $M_{i}/M_{i+1}$ 皆为单模；这些单模称为合成因子，$n$ 称为合成长度，都是 $M$ 的不变量。亦可考虑 $M$ 的子模范畴 ${\mathcal {A}}$，此时 $[M]\in K({\mathcal {A}})$ 可唯一表为合成因子之和；在此意义下，K-群提供了模的半单化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言：若一对象有合成列，则子商的同构类是唯一确定的，至多差一个置换。因此，合成列给出有限群或阿廷模的不变量。

群的情形

设 $G$ 为群，$G$ 的合成列是对应于一族子群

$\{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G$

满足 $H_{i}\triangleleft H_{i+1}$，使其子商 $H_{i+1}/H_{i}$ 皆为非平凡的单群；易言之，$H_{i}$ 是 $H_{i+1}$ 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群，恒存在合成列。

模的情形

固定环 $R$ 及 $R$-模 $M$。$M$ 的合成列是一族子模

$\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M$

其中每个子商 $J_{k+1}/J_{k}$ 皆为非平凡的单模 。易言之，$J_{k}$ 是 $J_{k+1}$ 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 $R$ 是阿廷环，根据 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 $R$-模皆有合成列。

例子

例子. 考虑 12 阶循环群 $C_{12}$，它具有三个相异的合成列

$C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$,

$C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}$,

$C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$

合成因子分别为

$C_{2},C_{3},C_{2}$

$C_{2},C_{2},C_{3}$

$C_{3},C_{2},C_{2}$

其间仅差个置换。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群 $G$〔或 $R$-模 $M$〕有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个置换。

略证：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

$\{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M$

$\{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M$

对 $\mathrm {min} (r,s)$ 行数学归纳法。若 $\mathrm {min} (r,s)=0$ 则 $M=0$，若 $\mathrm {min} (r,s)=1$ 则 $M$ 是单模。以下假定 $r,s\geq 2$。

若 $M_{r-1}=M_{s-1}$，据归纳法假设，$r-1=s-1$ 且 $M_{i+1}/M_{i}$ 与 $M'_{i+1}/M'_{i}$（$0\leq i\leq r-2$）之间仅差置换。此外 $M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}$，故定理成立。

设 $M_{r-1}\neq M'_{s-1}$。此时必有 $M_{r-1}+M'_{s-1}=M$。置 $N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}$，于是

$M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N$

$M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N$

取 $N$ 的合成列 $\{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N$，依上式知

$\{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)$

$\{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)$

皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项 $M$，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 $M_{\bullet },M'_{\bullet }$ 的合成因子，至多差个置换。是故定理得证。

参见

• 正规列
• 长度 (模论)

站外连结

• O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4