双射

数学中，一个由集合 $X$ 映射至集合 $Y$ 的函数，若对每一在 $Y$ 内的 $y$ ，存在唯一一个在 $X$ 内的 $x$ 与其对应，且对每一在 $X$ 内的 $x$ ，存在唯一一个在 $Y$ 内的 $y$ 与其对应，则此函数为对射函数。

换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则 $f$ 是双射的。即，同时为单射和满射。

例如，由整数集合 $\mathbb {Z}$ 至 $\mathbb {Z}$ 的函数 $\operatorname {succ}$ ，其将每一个整数 $x$ 连结至整数 $\operatorname {succ} (x)=x+1$ ，这是一个双射函数；再看一个例子，函数 $\operatorname {sumdif}$ ，其将每一对实数 $(x,y)$ 连结至 $\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$ ，这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或置换。后者一般较常使用在 $X=Y$ 时。以由 $X$ 至 $Y$ 的所有双射组成的集合标记为 $X\leftrightarrow Y$ 。

双射函数在许多数学领域扮演著很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数 $f$ 为双射的若且唯若其逆关系 $f^{-1}$ 也是个函数。在这情况， $f^{-1}$ 也会是双射函数。

两个双射函数 $f:X\leftrightarrow Y$ 及 $g:Y\leftrightarrow Z$ 的复合函数 $g\circ f$ 亦为双射函数。其反函数为 $(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$ 。

一个复合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若 $g\circ f$ 为双射的，可知 $f$ 是单射的且 $g$ 是满射的，但也仅限于此。

一由 $X$ 至 $Y$ 的关系 $f$ 为双射函数若且唯若存在另一由 $Y$ 至 $X$ 的关系 $g$ ，使得 $g\circ f$ 为 $X$ 上的恒等函数，且 $f\circ g$ 为 $Y$ 上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

双射与势

若 $X$ 和 $Y$ 为有限集合，则其存在一两集合的双射函数若且唯若两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

对任一集合 $X$ ，其恒等函数为双射函数。
函数 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，其形式为 $f(x)=2x+1$ ，是双射的，因为对任一 $y$ ，存在一唯一 $x=(y-1)/2$ 使得 $f(x)=y$ 。
指数函数 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，其形式为 $g(x)=e^{x}$ ，不是双射的：因为不存在一 $\mathbb {R}$ 内的 $x$ 使得 $g(x)=-1$ ，故 $g$ 非为双射。但若其陪域改成正实数 $\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$ ，则 $g$ 便是双射的了；其反函数为自然对数函数 $\ln$ 。
函数 $h$ : $\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$ ，其形式为 $h(x)=x^{2}$ ，不是双射的：因为 $h(-1)=h(1)=1$ ，故 $h$ 非为双射。但如果把定义域也改成 $[0,+\infty )$ ，则 $h$ 便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
$\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ 不是双射函数，因为 $-1,0$ 和 $1$ 都在其定义域里且都映射至 $0$ 。
$\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ 不是双射函数，因为 $\pi /3$ 和2 $\pi /3$ 都在其定义域里且都映射至 ${\sqrt {3}}/2$ 。

性质

一由实数 $\mathbb {R}$ 至 $\mathbb {R}$ 的函数 $f$ 是双射的，若且唯若其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
设 $X$ 为一集合，则由 $X$ 至其本身的双射函数，加上其复合函数“ $\circ$ ”的运算，会形成一个群，即为 $X$ 的对称群，其标记为 ${\mathfrak {S}}(X)$ 、 ${\mathfrak {S}}_{X}$ 或 $X!$ 。
取一定义域的子集 $A$ 及一陪域的子集 $B$ ，则

|f(A)|=|A|

且

|f^{-1}(B)|=|B|

。

若 $X$ 和 $Y$ 为具相同势的有限集合，且 $f:X\to Y$ ，则下列三种说法是等价的：

$f$ 为一双射函数。
$f$ 为一满射函数。
$f$ 为一单射函数。

一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如 $y=x^{-3}$ ）。

双射与范畴论

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

另见

参考文献

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外部链接

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埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld.
Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）